Formule de Stirling

Fichier:Mplwp factorial gamma stirling.svg

La formule de Stirling, du nom du mathématicien écossais James Stirling, donne un équivalent de la factorielle d'un entier naturel n quand n tend vers l'infini :

<math>\lim_{n \to +\infty} {n\,!\over \sqrt{2 \pi n} \; \left({n}/{\rm e}\right)^{n} } = 1</math>

que l'on trouve souvent écrite ainsi<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

<math>n\,!\sim \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\rm e}}\right)^n</math>

où le [[E (nombre)|nombre Modèle:Math]] désigne la base de l'exponentielle.

Histoire

C'est Abraham de Moivre<ref>À l'occasion de sa démonstration du théorème central limite dans le cas particulier de la loi binomiale.</ref> qui a initialement démontré la formule suivante :

<math>n\,!\sim C\; n^{n+\frac12}\, \mathrm e^{-n}</math>,

où Modèle:Math est une constante réelle (non nulle).

L'apport de Stirling<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Jacobo Stirling, Methodus Differentialis sive Tractatus de Summatione et Interpolatione Serierum Infinitarum (1730), proposition 28, p.135. La valeur du logarithme décimal de Modèle:Sqrt est donnée Modèle:P..</ref> fut d'attribuer la valeur Modèle:Math = Modèle:Racine à la constante et de donner un développement de [[Logarithme naturel|Modèle:Math]] à tout ordre.

Exemples d'applications

Équivalent du coefficient binomial central

En appliquant la formule de Stirling à <math>(2n)!</math> et à <math>n!</math> on obtient l'équivalent : <math>\dbinom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}</math> ; inversement, cet équivalent, obtenu indépendamment grâce aux intégrales de Wallis, permet de calculer la constante Modèle:Math ci-dessus.

Forme affaiblie

La formule de Stirling permet d'obtenir l'équivalent : <math>\sqrt[n]{n!}\sim\frac ne</math> ; ceci peut être vu comme le fait que le rapport de la moyenne arithmétique des entiers de 1 à Modèle:Mvar <math>\left(\frac {n+1}2\right)</math> à leur moyenne géométrique <math>(\sqrt[n]{n!})</math> tend vers <math>\frac e2</math>.

Démonstration

• La détermination de la constante n'est pas immédiate, mais il est facile de montrer le résultat de De Moivre, en vérifiant que <math>\ln\left(\frac{n^{n+\frac12}\operatorname e^{-n}}{n\,!}\right)</math> est la n-ième somme partielle d'une série télescopique convergente<ref>Modèle:Note autre projet</ref>. La façon classique d'en déduire ensuite la formule asymptotique est exposée dans l'article sur les intégrales de Wallis.
• Pour introduire le facteur de De Moivre, une autre manière de présenter est la suivante : la formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction Modèle:Math entre 1 et n donne<math>\ln(n!) = \sum_{k=1}^n \ln k = \int_1^n\ln x\;\mathrm dx + \frac{\ln 1 + \ln n}2+ O(1) = n\ln n- n+\frac{\ln n}2+O(1).</math>On prend alors l'exponentielle et cela donne l'idée du calcul ci-dessus.
• On peut même introduire le facteur Modèle:Racine par la méthode de la descente rapide. Cette méthode est assez puissante et en l'appliquant, on « comprend » l'apparition du Modèle:Racine et l'on trouve immédiatement le résultat de Stirling.
• Mais on peut aussi démontrer directement, et de façon élémentaire, un résultat plus précis sur la [[fonction gamma|fonction Modèle:Math d'Euler]]<ref>Modèle:Note autre projet</ref>, dont le cas particulier pour la factorielle s'écrit :

  <math>\left|\left(\frac{\mathrm e}n\right)^n\,n!-\sqrt{2\pi n}\right|\le2</math>.

Développement asymptotique

En supposant le coefficient Modèle:Math = Modèle:Racine déjà connu, la formule d'Euler-Maclaurin donne le développement asymptotique de Modèle:Math au voisinage de l’infini à l’ordre Modèle:Math :

<math>\ln(n\,!) = n\ln n- n + \frac12\ln(2 \pi n) + \sum_{k=1}^K\frac{(-1)^{k+1} B_{k+1}}{k (k+1) n^k} +O\left(\frac1{n^{K+1}}\right)</math>,

où les Modèle:Math sont les nombres de Bernoulli. Il est à noter que la somme ci-dessus ne tend pas vers une limite finie lorsque Modèle:Math tend vers l’infini.

Sachant que, à part Modèle:Math (qui n’intervient pas dans la formule), tous les nombres de Bernoulli de rang impair sont nuls, on peut réécrire le développement (à l’ordre Modèle:Math) :

<math>\ln(n\,!) = n\ln n- n + \frac12\ln(2 \pi n) + \sum_{k=1}^K\frac{B_{2k}}{2k (2k-1) n^{2k-1}} +O\left(\frac1{n^{2K+1}}\right)</math>.

On définit la fonction de Binet Modèle:Math en faisant tendre formellement Modèle:Math vers l’infini :

<math>\mu(n) \triangleq \ln(n\,!) - n\ln(n) + n - \frac12\ln(2 \pi n) </math>,

ce qui permet d’écrire :

<math>n\,! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac n{\mathrm e}\right)^n \operatorname e^{\mu(n)}</math>.

En calculant les premiers termes de Modèle:Math grâce à la formule exponentielle (laquelle fait intervenir les polynômes de Bell), on a alors le développement asymptotique de Modèle:Math au voisinage de l’infini :

<math>n\,! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac n{\mathrm e}\right)^n \left[1 + \frac1{12 n} + \frac1{288 n^2} - \frac{139}{51840 n^3} - \frac{571}{2488320 n^4} + \frac {163879}{209018880 n^5} +O\left(\frac1{n^6}\right) \right]</math>

développement dont les numérateurs et dénominateurs sont référencés respectivement par les suites Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C de l'OEIS. Il s’agit également du développement asymptotique de la fonction gamma.

Version continue

La formule précédente est une conséquence, pour le cas particulier d'un argument entier, de la formule asymptotique de Stirling pour la fonction gamma :

<math>\Gamma(z) \sim z^{z - \frac12}{\mathrm e}^{-z} \sqrt{2\pi}, \quad |\arg(z)| < \pi</math>.

Calculs numériques

Précision de la formule de Stirling

Pour juger de sa précision, on peut faire le tableau des premières valeurs de n :

n	n !	<math>\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\mathrm e}}\right)^n</math>	<math>\sqrt{2\pi n}\,\left({n \over {\mathrm e}}\right)^n \left(1 + \frac1{12\ n}\right)</math>
1	1	0,92	0,999
2	2	1,92	1,999
3	6	5,84	5,998
4	24	23,51	23,996
5	120	118,02	119,99
6	720	710,08	719,94
7	5 040	4 980,4	5 039,7
8	40 320	39 902,4	40 318,1
9	362 880	359 536,9	362 866,0
10	3 628 800	3 598 696	3 628 685
15	1 307 674 368 000	1,300 431 × 1012	1,307 665 × 1012
20	2 432 902 008 176 640 000	2,422 787 × 10Modèle:18	2,432 882 × 10Modèle:18
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000	1,545 959 × 10Modèle:25	1,551 113 × 10Modèle:25
30	265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000	2,645 171 × 1032	2,652 519 × 1032
40	815 915 283 247 897 734 345 611 269 596 115 894 272 000 000 000	8,142 173 × 1047	8,159 136 × 1047

Dans Modèle:Racine, si l'on remplace n par n + Modèle:Sfrac, les calculs sont nettement améliorés, pour les petites valeurs de n (approximation de Gosper) ; on peut aussi préférer un encadrement<ref>Modèle:MathWorld.</ref> ; enfin, on peut prendre la Modèle:OEIS.

Approximations exploitables pour des machines à calculer

L'approximation

<math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}z} \left( \frac z{\mathrm e}\sqrt{ z \sinh \frac1z+ \frac1{810z^6} } \right)^z</math>,

ou de façon équivalente

<math>2 \ln(\Gamma(z)) \approx \ln(2 \pi) - \ln z+ z \left(2 \ln z+ \ln \left( z \sinh \frac1z+ \frac1{810z^6} \right) - 2 \right)</math>,

peut être obtenue en réarrangeant la formule étendue de Stirling et en remarquant une coïncidence entre la série des puissances résultante et le développement en série de Taylor de la fonction sinus hyperbolique. Cette approximation est valable jusqu'à plus de 8 décimales pour z ayant une partie réelle supérieure à 8. Robert H. Windschitl l'a suggérée en 2002 pour calculer la fonction gamma avec une bonne précision sur des machines à calculer à programme ou mémoire de registre limité(e)<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} V. T. Toth, Programmable Calculators: Calculators and the Gamma Function (2006).</ref>.

Gergő Nemes a proposé en 2007 une approximation qui donne le même nombre de chiffres exacts que celle de Windschitl mais qui est bien plus simple<ref name="Nemes2010">Modèle:Article.</ref> :

<math>\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}z} \left( \frac1{\mathrm e}\left( z + \frac1{12z- \frac1{10z}} \right) \right)^z</math>,

ou de façon équivalente

<math> \ln(\Gamma(z)) \approx \tfrac12\left[\ln(2 \pi) - \ln z\right] + z \left[\ln \left( z + \frac1{12z- \frac1{10z}} \right)-1\right]</math>.

Approximation logarithmique

Fichier:Stirling's Approximation.svg

Comparaison des approximations logarithmiques de la formule de Stirling.

Dans le cadre de la thermodynamique statistique (distribution de Boltzmann) il est commode de considérer le logarithme népérien d'une factorielle en faisant l'approximation de Stirling<ref>Atkins, Chimie Physique, Modèle:3e, deBoeck, Bruxelles, 2008.</ref>. L'approximation consiste à assimiler la somme à une intégrale quand n est suffisamment grand<ref>Jannès, Chimie Physique : Distribution de Boltzmann, HELdB IMC, Bruxelles, 2010.</ref>.

<math> \ln\left(n!\right) = \sum_{i=1}^n{\ln i} \simeq \int_1^n{\ln x\, \mathrm dx} = \left[ x\ln x- x \right]_1^n = n\ln n- n + 1</math>.

On obtient finalement l'approximation suivante :

<math>\ln\left(n!\right) \simeq n\ln n- n</math>,

pour laquelle l'erreur relative est inférieure à 1 % quand n > 100. Cette approximation est considérée comme valable (l'erreur est négligeable) dans le cadre de la distribution de Boltzmann étant donné les grandes valeurs de n utilisées (représentant les configurations microscopiques d'un état macroscopique).

Une approximation bien plus précise de Modèle:Math a été donnée par Srinivasa Ramanujan<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

<math>

\ln(n!)=n\ln n- n + \frac {\ln(8n^3+4n^2+n+1/30+o(1))}6+ \frac {\ln\pi}2

</math> (Ramanujan 1988).