Intégrale de Wallis

Fichier:John Wallis by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg

John Wallis, par Godfrey Kneller.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une intégrale de Wallis est une intégrale faisant intervenir une puissance entière de la fonction sinus. Les intégrales de Wallis ont été introduites par John Wallis, notamment pour développer le [[Pi|nombre Modèle:Math]] en un produit infini de rationnels : le produit de Wallis.

Définition, premières propriétés

Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle <math>(W_n)_{n\in\N}</math> définie par :

<math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}2} \sin^nx\,\mathrm dx</math>

ou de façon équivalente (par le changement de variable <math>x=\frac\pi2-t</math>) :

<math> W_n = \int_0^{\frac{\pi}2} \cos^nx\,\mathrm dx</math>.

Les premiers termes de cette suite sont :

<math>W_0</math>	<math>W_1</math>	<math>W_2</math>	<math>W_3</math>	<math>W_4</math>	<math>W_5</math>	<math>W_6</math>	<math>W_7</math>	<math>W_8</math>
<math>\frac{\pi}2</math>	<math>1</math>	<math>\frac{\pi}4</math>	<math>\frac23</math>	<math>\frac{3\pi}{16}</math>	<math>\frac8{15}</math>	<math>\frac{5\pi}{32}</math>	<math>\frac{16}{35}</math>	<math>\frac{35\pi}{256}</math>

Puisque pour <math>x \in \Big[0; \dfrac{\pi}{2}\Big]</math>, on a <math>0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1</math>, la suite <math>(W_n)</math> est (strictement) positive et décroissante<ref name=Wikiversité/> ; on en déduit, d’après le théorème de convergence dominée, que sa limite est nulle ; ce résultat est également conséquence de l'équivalent qui sera obtenu plus loin.

Relation de récurrence, calcul des intégrales de Wallis

Une intégration par parties permet d'établir la relation de récurrence<ref name=Wikiversité>Pour le détail des calculs, voir par exemple le lien en bas de cette page vers Wikiversité.</ref> :

<math>W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\,W_n</math>.

De cette relation et des valeurs de <math>W_0</math> et <math>W_1</math>, on tire une expression des termes de la suite, selon la parité de leur rang :

<math>W_{2p}=\frac\pi2\prod_{k=1}^p\frac{2k-1}{2k}=\frac\pi2\frac{(2p)!}{\left(2^pp!\right)^2}=

\frac\pi2\frac{\binom{2p}{p}}{4^p} \quad\text{et}\quad W_{2p+1}=\prod_{k=1}^p\frac{2k}{2k+1}=\frac{\left(2^pp!\right)^2}{(2p+1)!}

=\frac1{2p+1}\frac{4^p}{\binom{2p}{p}}</math>

Autre relation pour le calcul des intégrales de Wallis

Les intégrales de Wallis peuvent s'exprimer grâce aux intégrales eulériennes :

1. L'intégrale d'Euler de première espèce aussi appelée fonction bêta :

   <math>\Beta(x,y)=2\int_0^{\frac{\pi}2}\sin(u)^{2x-1}\cos(u)^{2y-1}\,\mathrm du</math>

2. L'intégrale d'Euler de seconde espèce aussi appelée fonction gamma :

   <math>\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm dt</math>.

Sachant que <math>\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math> et <math>\Gamma\left(\tfrac12\right)=\sqrt\pi</math>, on peut écrire les intégrales de Wallis sous la forme suivante :

<math>W_n ={\frac12}\Beta\left(\frac{n+1}2,\frac12\right)= \frac{\sqrt\pi}2\frac{\Gamma\left(\tfrac{n}2+\frac12\right)}{\Gamma\left(\tfrac n2+1\right)}</math>.

Un équivalent de la suite des intégrales de Wallis

De la formule de récurrence précédente, on déduit l'encadrement : <math>\frac{n+1}{n+2}=\frac{W_{n+2}}{W_n}<\frac{W_{n+1}}{W_n}<1</math> , d'où l'équivalence<ref name=Wikiversité/> :

<math>W_{n+1}\sim W_n</math>.

Puis, en étudiant <math>W_nW_{n+1}</math>, on établit l'équivalent suivant<ref name=Wikiversité/> :

<math>W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}</math>.

Série génératrice

La série génératrice des termes pairs est <math>\sum_{p=0}^\infty W_{2p}x^{2p}=\frac\pi2\frac1{\sqrt{1-x^2}}</math>.

La série génératrice des termes impairs est<ref>Modèle:Lien web, Annexe 2.</ref> <math>\sum_{p=0}^\infty W_{2p+1}x^{2p+1}=\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}</math>.

Applications

Établissement de la formule de Stirling

On suppose connue l'existence d'une constante <math>C</math> telle que<ref>Modèle:Note autre projet</ref> :

<math>n!\sim C\sqrt n\,\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n</math>.

En remplaçant les factorielles dans l'expression ci-dessus des intégrales de Wallis, on en déduit un nouvel équivalent :

<math>W_{2p}=\frac\pi2\frac{(2p)!}{\left(2^pp!\right)^2}\sim\frac\pi2\frac{C\sqrt{2p}\,\left(\frac{2p}{\mathrm e}\right)^{2p}}{\left(2^pC\sqrt p\,\left(\frac p{\mathrm e}\right)^p\right)^2}=\frac\pi{C\sqrt{2p}}</math>.

En le confrontant à l'équivalent de <math>W_n</math> obtenu précédemment, on en déduit que

<math>C=\lim_{p\to\infty}\frac\pi{W_{2p}\sqrt{2p}}=\sqrt{2\pi}</math>.

On a ainsi établi la formule de Stirling :

<math>n!\sim\sqrt{2\pi n}\,\left(\frac n{\mathrm e}\right)^n</math>.

Calcul de l'intégrale de Gauss

On peut aisément utiliser les intégrales de Wallis pour calculer l'intégrale de Gauss.

On utilise pour cela l'encadrement suivant<ref>Modèle:Note autre projet</ref>, issu de la construction de la fonction exponentielle par la méthode d'Euler : pour tout entier <math>n>0</math> et tout réel <math>u\in\left]-n,n\right[</math>,

<math>(1+u/n)^n\le\mathrm e^u\le(1-u/n)^{-n}</math>.

Posant alors <math>u=-x^2</math>, on obtient :

<math> \int_0^{\sqrt n}(1-x^2/n)^n\,\mathrm dx \le\int_0^{\sqrt n}\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx \le\int_0^{\sqrt n}(1+x^2/n)^{-n}\,\mathrm dx</math>.

Or les intégrales d'encadrement sont liées aux intégrales de Wallis. Pour celle de gauche, il suffit de poser <math> x=\sqrt n\,\sin t</math> (t variant de 0 à Modèle:Sfrac). Quant à celle de droite, on peut poser <math>x=\sqrt n\,\tan t</math> (t variant de 0 à Modèle:Sfrac) puis majorer par l'intégrale de 0 à Modèle:Sfrac. On obtient ainsi :

<math>\sqrt n\,W_{2n+1}\le\int_0^{\sqrt n}\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx \le\sqrt n\,W_{2n-2}</math>.

Par le théorème des gendarmes, on déduit alors de l'équivalent de <math>W_n</math> ci-dessus que

<math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x^2}\,\mathrm dx =\sqrt\pi/2</math>.

Remarque : il existe bien d'autres méthodes de calcul de l'intégrale de Gauss, dont une méthode bien plus directe.

Calcul de Modèle:Math

Modèle:Article détaillé Puisque <math>W_{2p}\sim W_{2p+1}</math> Modèle:Supra,

<math>\lim_{p\to\infty}\frac{W_{2p+1}}{W_{2p}/\frac\pi2}=\frac\pi2</math>.

Or d'après le calcul ci-dessus des intégrales de Wallis :

<math>\frac{W_{2p+1}}{W_{2p}/\frac\pi2}=\frac{\prod_{k=1}^p\frac{2k}{2k+1}}{\prod_{k=1}^p\frac{2k-1}{2k}}=\prod_{k=1}^p\frac{4k^2}{4k^2-1}</math>.

On en déduit pour la constante Modèle:Sfrac l'expression (appelée produit de Wallis) :

<math> \prod_{k=1}^{\infty}\frac{4k^2}{4k^2-1}=\frac\pi2</math>.

Voir aussi

Article connexe

Calcul du volume de l'hypersphère

Lien externe

John Wallis, sur le site L'univers de π.