Fonction bêta

{{#invoke:Bandeau|ébauche}}

Fichier:Beta function on real plane.png

Variations de la fonction bêta pour les valeurs positives de x et y

En mathématiques, la fonction bêta est une des deux intégrales d'Euler, définie pour tous nombres complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar de parties réelles strictement positives par :

<math>\Beta(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm dt,</math>

et éventuellement prolongée analytiquement à tout le plan complexe à l'exception des entiers négatifs.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction gamma.

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée.

Propriétés

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable Modèle:Math prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

<math>\Beta(x,y)=\Beta(y,x)</math>.

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

<math>\Beta(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta~\cos^{2y-1}\theta~\mathrm d\theta</math> (par le changement de variable <math>t=\sin^2\theta</math>),

<math>\Beta(x,y) = \int_0^\infty\frac{s^{y-1}}{(1+s)^{x+y}}~\mathrm ds</math> (par le changement de variable <math>t= \dfrac1{1+s}</math>).

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

<math>\Beta(x,y+1)={y \over x+y}\Beta(x,y)</math>,

<math>

\Beta(x,y)~\Beta(x+y,1-y) =
 \dfrac{\pi}{x \sin(\pi y)}</math>,

<math>

\Beta (x,x) = 2^{1 - 2 x}\Beta\left(\tfrac12,x\right)</math>.

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante<ref>Modèle:Note autre projet</ref> :

<math>\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}</math>.

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial : Modèle:Retrait

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux rationnels et si ni Modèle:Mvar, ni Modèle:Mvar, ni Modèle:Math ne sont entiers, alors Modèle:Math est un nombre transcendant<ref>Modèle:Article.</ref>.

Dérivation

Les dérivées partielles de la fonction bêta utilisent les équations fonctionnelles vues précédemment :

<math>{\partial \over \partial x}\Beta(x, y) =\Beta(x, y) \left( {\Gamma'(x) \over \Gamma(x)} - {\Gamma'(x + y) \over \Gamma(x + y)} \right) =\Beta(x, y) (\psi(x) - \psi(x + y)),</math>

<math>{\partial \over \partial y}\Beta(x, y) = \Beta(x, y) (\psi(y) - \psi(x + y))</math>

où Modèle:Math est la fonction digamma.

<math>{\partial^2 \over \partial x^2}\Beta(x, y) = \Beta(x, y) \left[(\psi(x) - \psi(x + y))^2 +(\psi_1(x) - \psi_1(x + y)) \right],</math>

<math>{\partial^2 \over {\partial x\partial y}}\Beta(x, y) =\Beta(x, y) \left[(\psi(x) - \psi(x + y))(\psi(y) - \psi(x + y)) - \psi_1(x + y) \right],</math>

où Modèle:Math est la fonction polygamma.

Fonction bêta incomplète

La fonction bêta incomplète est définie par :

<math> \Beta(x;\,a,b) = \int_0^x t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\mathrm dt</math>

et vérifie trivialement<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :

Pour Modèle:Math, elle correspond à la fonction bêta de paramètres Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

<math> I_x(a,b) = \dfrac{\Beta(x;\,a,b)}{\Beta(a,b)}.</math>

Les relations précédentes deviennent ainsi

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale<ref name=AS/> : Modèle:Retrait