Formule du binôme de Newton

Fichier:Binomial expansion visualisation.svg

Visualisation de l'expansion binomiale

La formule du binôme de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton<ref>En réalité, cette formule était connue dès le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, en particulier des mathématiciens indiens (Modèle:Lien), arabes et perses (Al-Karaji) et au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, le mathématicien chinois Yang Hui la démontra indépendamment. En 1665, Newton la généralisa à des exposants non entiers (voir l'article formule du binôme généralisée).</ref> pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme ou formule de Newton.

Énoncé

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont deux éléments d'un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux polynômes, deux matrices carrées de même taille, etc.) qui commutentModèle:Note (c'est-à-dire tels que Modèle:Math — par exemple pour des matrices : Modèle:Mvar = la matrice identité) alors, pour tout entier naturel Modèle:Mvar,

<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{k} y^{n-k}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k</math>,

où les nombres Modèle:Retrait (parfois aussi notés Modèle:Mvar) sont les coefficients binomiaux, « ! » désignant la factorielle et Modèle:Math l'élément unité de l'anneau.

En remplaçant dans la formule Modèle:Mvar par Modèle:Math, on obtient : Modèle:Retrait

Exemples :

<math>\begin{array}{lclcl}

n=2,& (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2,&(x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2,\\ n=3,& (x + y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3,&(x - y)^3 &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3,\\ n=4,& (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4,&&\\ n=7,& (x + y)^7 &= x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7.&& \end{array} </math>

Démonstration

Modèle:Ancre On peut démontrer la formule de l'énoncé par récurrence<ref>La démonstration classique est disponible sur Wikiversité Modèle:Infra, ainsi qu'Modèle:Note autre projet</ref><ref>Binôme de Newton : Démonstration par récurrence en vidéo.</ref>.

Une preuve plus intuitive<ref>Binôme de Newton : Démonstration par dénombrement en vidéo.</ref> utilise le fait que le coefficient binomial <math>{n \choose k}</math> est le nombre de parties à Modèle:Mvar éléments dans un ensemble à Modèle:Math éléments. Quand on développe l'expression

<math>(x+y)^n=(x+y)(x+y)\cdots(x+y)\qquad (n \text{ fois})</math>,

on obtient une somme de monômes de la forme Modèle:Math où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi Modèle:Mvar ou Modèle:Mvar en développant. On a forcément Modèle:Math, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas Modèle:Mvar, on choisit Modèle:Mvar. Enfin, comme il y a <math>{n \choose k}</math> manières différentes de choisir Modèle:Mvar fois la valeur Modèle:Mvar parmi les Modèle:Mvar expressions Modèle:Math multipliées ci-dessus, le monôme Modèle:Math doit apparaître dans le développement avec le coefficient <math>{n \choose k}</math>.

Généralisations

La démonstration par récurrence peut être calquée pour démontrer la formule de Leibniz pour la dérivée Modèle:Mvar-ième d'un produit.

La méthode combinatoire de sa variante permet de généraliser l'identité polynomiale

<math>(X+Y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k}X^{n-k}Y^k</math>

en

<math>\prod_{i=1}^n(X+Y_i)=\sum_{k=0}^n\sigma_k(Y_1,\ldots,Y_n)X^{n-k}</math>,

où les Modèle:Math désignent les polynômes symétriques élémentaires.

Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de Modèle:Mvar termes complexes élevées à une puissance entière Modèle:Mvar (voir l'article Formule du multinôme de Newton) :

<math display="block">\left( \sum_{i=1}^m x_i \right)^n = \sum_{\left|\vec k\right|=n} {n\choose\vec k} \prod_{i=1}^m x_i^{k_i}</math>

et à des exposants non entiers (voir l'article Formule du binôme généralisée) ou entiers négatifs (voir l'article Formule du binôme négatif).

L’application de la formule à des anneaux de fonctions bien choisis (ou en calquant la démonstration par récurrence) permet d’en déduire la formule des différences finies d’ordre supérieur, ainsi que la formule de Taylor à deux variables.

Enfin, les méthodes du calcul ombral permettent d’obtenir des formules analogues (où les exposants sont remplacés par des indices) pour certaines suites de polynômes, tels que les polynômes de Bernoulli.

Dans la littérature

Le professeur Moriarty, ennemi du célèbre Sherlock Holmes, aurait publié un article sur le binôme de Newton<ref>Arthur Conan Doyle, Le Dernier Problème, 1891.</ref>.

Voir aussi

Articles connexes

• Formule du trinôme de Newton
• Théorème binomial d'Abel
• Triangle de Pascal
• Type binomial

Lien externe

Binôme de Newton dans le cas d'un exposant impair