Matrice identité
En mathématiques, plus précisement en algèbre linéaire, une matrice identité ou matrice unité est une matrice carrée diagonale dont la diagonale principale est remplie de <math>1</math>, et dont les autres coefficients valent <math>0</math>. Elle peut s'écrire :
La matrice identité de taille <math>n</math> se note <math>\mathrm I_{n}</math> <ref group=N>Si l'ordre n'est pas précisé, ou qu'il est implicitement déterminé par le contexte, elle est simplement notée <math>\mathrm I</math>.</ref> :
\mathrm{I}_1 = \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix} ,\ \mathrm{I}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ \mathrm{I}_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ,\ \cdots ,\ \mathrm{I}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
</math>Il est possible de noter les coefficients de la matrice identité d'ordre <math>n</math> avec le delta de Kronecker :
1 & \mbox{si } i=j \\
0 & \mbox{si } i \ne j \end{matrix}\right.\,</math>Propriétés
Les matrices identité sont des matrices unitaires et sont donc inversibles et normales.
Pour toute matrice <math>A</math> à <math>n</math> lignes et <math>p</math> colonnes :
La matrice identité représente l'application identité dans n'importe quelle base. Tout comme cette dernière n'a aucun effet par composition avec une application linéaire donnée, la matrice identité n'a aucun effet par produit avec une matrice. En particulier, <math>\mathrm I _{n}</math> est l'élément neutre pour la multiplication des matrices carrées d'ordre <math>n</math>.
Une matrice identité de taille <math>n</math> vérifie les propriétés suivantes :
- Son rang vaut <math> \mathrm{rg} (\mathrm I_{n})= n</math> ;
- Son inverse est elle-même : <math>\mathrm I^{-1}_{n} = \mathrm I_{n} </math> ;
- Son conditionnement vaut <math> \mathrm{cond} (\mathrm I_{n}) = 1 </math> ;
- Son déterminant vaut <math> \mathrm{det} (\mathrm I_{n}) = 1 </math> ;
- Son polynôme caractéristique est <math> \chi = (X-1)^{n}</math> ;
- Son unique valeur propre est <math>1</math> de multiplicité <math>n</math> ;
- Sa trace vaut <math> \mathrm{tr} (\mathrm I_{n}) = n </math> ;
- En normes :
- Sa norme <math>1</math> vaut : <math> ||\mathrm I_{n}||_{1} = \sum_{i,j = 1}^{n} | \delta_{i,j} | = n </math> ;
- Sa norme <math>2</math> vaut : <math> ||\mathrm I_{n}||_{2} = \sqrt{ \sum_{i,j = 1}^{n} | \delta_{i,j} |^{2} } = \sqrt{n} </math> ;
- Sa norme <math>p</math> vaut : <math> ||\mathrm I_{n}||_{p} = \sqrt[p]{\sum_{i,j = 1}^{n} | \delta_{i,j} |^{p}} = \sqrt[p]{n}</math>.
Lien avec la matrice vide
La matrice vide carrée de taille <math>0 \times 0</math> est une matrice unité, notée <math>()</math> ou <math>\mathrm I_{0}</math>. Elle représente l'application identité de l'espace nul.
