Matrice unitaire
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{{#invoke:Bandeau|ébauche}} En algèbre linéaire, une matrice carrée Modèle:Math à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités :
où la matrice adjointe de Modèle:Math est notée Modèle:Math (ou Modèle:Math en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et Modèle:Math désigne la matrice identité.
L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n).
Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.
Propriétés
Toute matrice unitaire Modèle:Math vérifie les propriétés suivantes :
- son déterminant est de module 1 ;
- ses vecteurs propres sont orthogonaux ;
- Modèle:Math est diagonalisable :Modèle:Retrait où Modèle:Math est une matrice unitaire et Modèle:Math est une matrice diagonale et unitaire ;
- Modèle:Math peut s'écrire sous la forme d'une exponentielle d'une matrice :Modèle:Retrait où Modèle:Math est l'unité imaginaire et Modèle:Math est une matrice hermitienne.
- Modèle:Math est normale.
Propositions équivalentes
Soit Modèle:Math une matrice carrée de taille n à coefficients complexes ; les cinq propositions suivantes sont équivalentes :
- Modèle:Math est unitaire ;
- Modèle:Math est unitaire ;
- Modèle:Math est inversible et son inverse est Modèle:Math ;
- les colonnes de Modèle:Math forment une base orthonormale pour le produit hermitien canonique sur ℂn ;
- Modèle:Math est normale et ses valeurs propres sont de module 1.
Cas particuliers
Les matrices unités sont des matrices unitaires.
