Polynôme de Bernoulli
En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.
Définition
Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes <math>\left( B_n \right)_{n\in\N}</math> telle que :
- <math>B_0 = 1</math>
- <math>\forall n\in\N, B'_{n+1} = (n+1)B_n</math>
- <math>\forall n\in\N^*, \int_0 ^1 B_n (x) dx = 0</math>
Fonctions génératrices
La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est
- <math>\frac{t e^{xt}}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>.
La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est
- <math>\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty E_n(x) \frac{t^n}{n!}</math>.
Les nombres d'Euler et de Bernoulli
Les nombres de Bernoulli sont donnés par <math>B_n=B_n(0)</math>.
Les nombres d'Euler sont donnés par <math>E_n=2^nE_n(1/2)</math>.
Expressions explicites pour les petits ordres
Modèle:Col-begin Modèle:Col-2 Les premiers polynômes de Bernoulli sont :
- <math>B_0(x)=1\,</math>
- <math>B_1(x)=x-\frac{1}{2}</math>
- <math>B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}</math>
- <math>B_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x</math>
- <math>B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30}</math>
- <math>B_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{3}x^3-\frac{1}{6}x</math>
- <math>B_6(x)=x^6-3x^5+\frac{5}{2}x^4-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{42}</math>
Modèle:Col-2 Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :
- <math>E_0(x)=1\,</math>
- <math>E_1(x)=x-\frac{1}{2}\,</math>
- <math>E_2(x)=x^2-x\,</math>
- <math>E_3(x)=x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{4}\,</math>
- <math>E_4(x)=x^4-2x^3+x\,</math>
- <math>E_5(x)=x^5-\frac{5}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2-\frac{1}{2}\,</math>
- <math>E_6(x)=x^6-3x^5+5x^3-3x\,</math>
Propriétés des polynômes de Bernoulli
Différences
Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.
- <math>B_n(x+1)-B_n(x)=nx^{n-1}\,</math>
- <math>E_n(x+1)+E_n(x)=2x^{n}\,</math>
Dérivées
- <math>B_n'(x)=nB_{n-1}(x)\,</math>
- <math>E_n'(x)=nE_{n-1}(x)\,</math>
Translations
- <math>B_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} B_k(x) y^{n-k}</math>
- <math>E_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} E_k(x) y^{n-k}</math>
Symétries
- <math>B_n(1-x)=(-1)^n B_n(x)</math>
- <math>E_n(1-x)=(-1)^n E_n(x)</math>
- <math>(-1)^n B_n(-x) = B_n(x) + nx^{n-1}</math>
- <math>(-1)^n E_n(-x) = -E_n(x) + 2x^n</math>
Autres propriétés
- <math>\forall n\in\N, B_n (x) =2^{n-1} \left( B_n \left( \frac{x}{2} \right) + B_n \left( \frac{x+1}{2} \right) \right) </math>
- <math>\forall p\in\N,\forall n\in\N,\sum_{k=0}^n k^p = \frac{B_{p+1}(n+1) - B_{p+1}(0)}{p+1}</math>
Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : <math> \int_x ^{x+1} B_n(t) \,\mathrm{d}t = x^n</math> ou, plus simplement, de la somme télescopique
.
Valeurs particulières
Les nombres <math>B_n=B_n(0)</math> sont les nombres de Bernoulli.
- <math> \forall n > 1,\quad B_n (0) =B_n (1) </math>
Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :
- <math>\forall p\in\N^*\quad B_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=0</math>
- <math>\forall p\in\N\quad B_{2p+1}\left(\frac12\right)=0</math>
- <math>\forall p\in\N\quad B_{2p}\left(\frac12\right)=\left(\frac1{2^{2p-1}}-1\right)B_{2p}</math>
Série de Fourier
La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
- <math>B_n(x)=-\frac{n!}{(2\pi \mathrm{i})^n}\sum_{k\in\Z\atop k\ne0}\frac{\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}kx}}{k^n}=-n!\sum_{k=1}^\infty\frac{\mathrm e^{2\pi\mathrm ikx}+(-1)^n\mathrm e^{-2\pi\mathrm ikx}}{(2\pi\mathrm{i}k)^n}=-2\,n!\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos\left(2k\pi x-\frac{n\pi}2\right)}{(2k\pi)^n}</math>,
valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.
C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Bibliographie
- Modèle:Handbook of Mathematical Functions (Abramowitz et Stegun), chap. 23
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976, Springer-Verlag, New York, chap. 12.11
