Série de Dirichlet

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Fichier:Dirichlet.jpg
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet analyse les séries qui portent son nom en 1837 pour démontrer le théorème de la progression arithmétique.

En mathématiques, une série de Dirichlet est une série Modèle:Math de fonctions définies sur l'ensemble ℂ des nombres complexes, et associée à une suite Modèle:Math de nombres complexes de l'une des deux façons suivantes :

<math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^s}\quad\text{ou}\quad f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math>.

Ici, la suite Modèle:Math est réelle, positive, strictement croissante et non bornée. Le domaine de convergence absolue d'une série de Dirichlet est soit un demi-plan ouvert de ℂ, limité par une droite dont tous les points ont même abscisse, soit l'ensemble vide, soit ℂ tout entier. Le domaine de convergence simple est de même nature. Sur le domaine de convergence simple, la fonction définie par la série est holomorphe. Si la partie réelle de Modèle:Mvar tend vers Modèle:Math, la fonction somme, si elle existe, tend vers Modèle:Math.

Les séries de Dirichlet interviennent en théorie analytique des nombres. Dirichlet en analyse certaines, les séries L de Dirichlet, pour démontrer en 1837 le théorème de la progression arithmétique. L'hypothèse de Riemann s'exprime en termes de zéros du prolongement analytique d'une fonction somme d'une série de Dirichlet.

Définitions et exemples

Définitions

Il existe deux définitions différentes des séries de Dirichlet :

  • Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où Modèle:Math désigne une suite de nombres complexes :
<math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac {a_n}{n^s}</math>.

Cet article utilise une définition plus générale<ref name=Valiron>Modèle:Harvsp.</ref> :

  • Une série de Dirichlet est une série de la forme suivante, où Modèle:Math désigne une suite de nombres complexes et Modèle:Math une suite réelle, positive, strictement croissante et non bornée :
<math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math>.

La première définition correspond au cas particulier Modèle:Math.

  • On associe classiquement<ref name=Valiron/> à une telle série les deux fonctions
    <math>A(u)=\sum_{1\le n\le u}a_n,\quad A_\lambda(x)=\sum_{\lambda_n\le x}a_n</math>.

Exemples

Abscisses de convergences

Convergence simple et convergence absolue

Lorsque la série n'est pas à coefficients positifs (ou de même signe), il faut distinguer la convergence absolue de la convergence simple.

Exemple : la série de Dirichlet de la fonction êta de Dirichlet est <math>\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1}\over n^s}</math>.

De plus, la fonction êta se prolonge de manière holomorphe à tout le plan complexe.

On dit que Modèle:Math est l'abscisse de convergence simple, que Modèle:Math est l'abscisse de convergence absolue de la série de Dirichlet et que Modèle:Math est l'abscisse d'holomorphie.

Abscisse de convergence simple

Soit Modèle:Mvar l'ensemble des nombres réels Modèle:Mvar tels que la série Modèle:Math converge pour au moins un réel Modèle:Mvar. Cet ensemble permet la définition<ref name=Singularite8>Modèle:Harvsp</ref> :

L'abscisse de convergence simple, encore appelée abscisse de convergence est la borne inférieure Modèle:Math de l'ensemble Modèle:Mvar. Autrement dit : si Modèle:Mvar n'est pas minoré alors Modèle:Math, si Modèle:Mvar est vide alors Modèle:Math, et dans tous les autres cas, Modèle:Math est le plus grand réel Modèle:Math tel qu'en tout point du demi-plan Modèle:Math, la série diverge.

Cette abscisse de convergence est l'objet d'une proposition<ref name=Singularite8/> :

On en déduit que la convergence est uniforme sur tout sous-ensemble compact du demi-plan, d'où le corollaire :

  • La série de Dirichlet est holomorphe sur son demi-plan de convergence et <math>f'(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}-\lambda_na_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math>.


Si la suite Modèle:Math est bornée, alors l'abscisse de convergence est négative ou nulle. Plus généralement<ref>Cf. par exemple Modèle:Harvsp, Modèle:Harvsp, Modèle:Harvsp ou Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>L'énoncé originel de Modèle:Harvsp Modèle:Citation et sa démonstration, bien que repris tels quels dans Modèle:Harvsp (Modèle:Google Livres), sont faux si Modèle:Math. Cependant, Modèle:Harvsp démontrent cet énoncé de Cahen sous l'hypothèse supplémentaire que la série diverge en 0, ou converge vers une valeur non nulle, et Modèle:Ouvrage le font sans cette hypothèse, mais seulement pour une série de Dirichlet classique (c.-à-d. pour Modèle:Math).</ref>,<ref>Modèle:Article a fourni une variante Modèle:Mvar (Modèle:Google Livres) qui est toujours égale à Modèle:Math, même quand Modèle:Mvar n'est pas strictement positive : cf. Modèle:Article.</ref> :

En démontrant cette propriété, on obtient au passage l'expression intégrale suivante<ref name=Valiron/> :

  • Pour tout nombre complexe Modèle:Mvar de partie réelle strictement supérieure à Modèle:Math,
    <math>(*)\quad f(s)=s\int_0^\infty A_\lambda(x)\mathrm e^{-sx}\mathrm dx</math>.

Dans le cas des séries de Dirichlet classiques (c.-à-d. pour Modèle:Math), cette formule devient, par changement de variable<ref>Pour une preuve directe dans ce cas et des exemples, voir l'article « Formule sommatoire d'Abel ».</ref> :

<math>f(s)=s\int_1^\infty\frac{A(u)}{u^{1+s}}\mathrm du</math>.

Modèle:Démonstration/début L'outil principal de ces démonstrations est une petite variante de la formule sommatoire d'Abel (obtenue par transformation d'Abel) :

<math>(1)\quad\sum_{n=1}^qa_n\mathrm e^{-s\lambda_n}=A(q)\mathrm e^{-s\lambda_q}-\int_0^{\lambda_q}A_\lambda(x)\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\left(\mathrm e^{-sx}\right)\mathrm dx=A(q)\mathrm e^{-s\lambda_q}+s\int_0^{\lambda_q}A_\lambda(x)\mathrm e^{-sx}\mathrm dx</math>

et de même, si Modèle:Math :

<math>(2)\quad\sum_{n=p}^qa_n\mathrm e^{-s\lambda_n}=(A(q)-A(p-1))\mathrm e^{-s\lambda_q}+s\int_{\lambda_p}^{\lambda_q}\left(A_\lambda(x)-A(p-1)\right)\mathrm e^{-sx}\mathrm dx</math>

(ce qui revient à remplacer Modèle:Math par Modèle:Math dans la première formule).

  • Convergence uniforme :
    Pour alléger les notations, on peut d'abord se ramener au cas Modèle:Math par changement de variable et modification des coefficients, en écrivant la série sous la forme
    <math>\sum \left(a_n\mathrm e^{-s_0\lambda_n}\right)\mathrm e^{-(s-s_0)\lambda_n}</math>.
    Soit Modèle:Math un réel strictement positif et Modèle:Mvar le secteur Modèle:Math, l'objectif est de montrer que :
    <math>\exists N \in \N\quad\forall s \in D\quad\forall p,q\ge N\text { avec } p \le q \quad \left| \sum_{n=p}^q a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}\right|\le\varepsilon</math>.
    Par hypothèse, la série de Dirichlet converge en Modèle:Math, c'est-à-dire que la suite Modèle:Math est convergente. Si Modèle:Mvar est choisi suffisamment grand, on a donc :
    <math>q\ge p\ge N\Rightarrow|A(q)-A(p-1)|\le\varepsilon\cos(\theta)</math>.
    Pour tout point Modèle:Mvar de Modèle:Mvar et pour tous Modèle:Math, on déduit alors de la formule (2) :
    <math>\begin{align}\left|\sum_{n=p}^qa_n\mathrm e^{-s\lambda_n}\right|&\le\varepsilon\cos(\theta)\big(\mathrm e^{-\mathrm{Re}(s)\lambda_q}+\frac{|s|}{\mathrm{Re}(s)}\left(\mathrm e^{-\mathrm{Re}(s)\lambda_p}-\mathrm e^{-\mathrm{Re}(s)\lambda_q}\right)\big)\\

&=\varepsilon\cos(\theta)\left(\frac{|s|}{\text{Re}(s)}\mathrm e^{-\lambda_p\text{Re}(s)}-\left(\frac{|s|}{\text{Re}(s)}-1\right)\mathrm e^{-\lambda_q\text{Re}(s)}\right)\\ &\le\varepsilon\cos(\theta)\frac{|s|}{\text{Re}(s)}\mathrm e^{-\lambda_p\text{Re}(s)}

\\&\le\varepsilon.\end{align}</math>L'application du critère de Cauchy termine la démonstration.

Modèle:Démonstration/fin

Une autre proposition traite du cas où l'abscisse de convergence simple est strictement négative :

  • Si l'abscisse de convergence simple d'une série de Dirichlet est strictement négative, elle est égale à la limite suivante<ref>Modèle:Harvsp</ref> :
    <math>\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln\left(\left|\sum_{k=n+1}^{\infty}a_k\right|\right)}{\lambda_{n+1}}</math>.

Abscisse d'holomorphie

Cette abscisse Modèle:Math est définie comme la borne inférieure de l'ensemble des réels Modèle:Mvar tels que la série admette un prolongement holomorphe sur le demi-plan Modèle:Math.

D'après ce qui précède, on a toujours

<math>\sigma_{\mathrm h}\le\sigma_{\mathrm c}</math>,

mais une différence majeure avec la théorie des séries entières<ref name=Hol>Modèle:Harvsp et Modèle:Harvsp</ref> est que cette inégalité peut être stricte, comme le montre l'exemple des fonctions L de Dirichlet associées à des caractères non principaux.

On a cependant égalité si les coefficients de la série sont positifs :

Modèle:Théorème

Modèle:Démonstration

On a aussi Modèle:Math sous d'autres hypothèses complémentaires<ref name=Valiron/>, en posant

<math>\Delta=\limsup_{n\to\infty}\frac n{\lambda_n}\quad\text{et}\quad G=\liminf_{n\to\infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)</math> :

Abscisse de convergence absolue

On définit de même l'abscisse de convergence absolue Modèle:Math comme la borne inférieure de l'ensemble des réels Modèle:Mvar pour lesquels la série est absolument convergente sur le demi-plan Modèle:Math. Les deux abscisses Modèle:Math et Modèle:Math (évidemment égales pour une série à coefficients positifs) sont liées en général par les inégalités<ref>Modèle:Harvsp</ref>:

<math>\sigma_{\mathrm c}\leq\sigma_{\mathrm a}\le\sigma_{\mathrm c}+D\quad\mathrm{o\grave u}\quad D=\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln n}{\lambda_n}.</math>

On montre de plus que<ref name=Valiron/> :

<math>\text{si}\quad D=0\quad\text{alors}\quad\sigma_{\mathrm c}=\sigma_{\mathrm a}=\limsup_{n\to\infty}\frac{\ln|a_n|}{\lambda_n}</math>,

ce qui généralise le théorème de Cauchy-Hadamard sur le rayon de convergence d'une série entière. Remarquons que Modèle:Mvar est nul dès que Modèle:Math est fini, mais que cela ne suffit pas<ref name=Valiron/> à assurer l'existence de points singuliers sur la droite critique.

Dans le cas d'une série de Dirichlet Modèle:Citation : <math> \sum_{n=1}^{\infty}{a_n \over n^s}</math>, on a Modèle:Math, donc :

<math>\sigma_{\mathrm c}\leq\sigma_{\mathrm a}\le\sigma_{\mathrm c}+1</math>.

L'exemple de la série de Dirichlet de la fonction êta de Dirichlet (<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}</math>) montre que l'on a une inégalité optimale : la série converge simplement (c'est une série alternée) seulement pour les nombres réels Modèle:Math et absolument seulement pour les nombres réels Modèle:Math.

Unicité du développement

On se ramène au cas où les deux séries à comparer ont même type (c.-à-d. mêmes Modèle:Mvar) en prenant la réunion (réordonnée de façon croissante) de leurs types respectifs.

Dans ce cas, si elles ont même fonction limite sur un demi-plan Modèle:Math où elles convergent toutes deux, alors, d'après la formule de Perron, elles ont mêmes coefficients.

Il suffit pour cela<ref>Modèle:Harvsp</ref> que Modèle:Math soit de la forme Modèle:Math pour un certain Modèle:Math où les deux séries convergent et un certain Modèle:Math et que les deux fonctions sur ce demi-plan coïncident en une infinité de points appartenant à un secteur Modèle:Math avec Modèle:Math. En effet, si la différence de ces deux fonctions n'est pas nulle, alors ses zéros dans un tel domaine sont en nombre fini puisqu'isolés et bornés (car la différence des deux séries, divisée par son premier terme non nul, est convergente en Modèle:Math donc uniformément convergente dans ce secteur, si bien que la fonction associée tend vers Modèle:Math quand Modèle:Mvar tend vers l'infini).

Exemples de décompositions en série de Dirichlet

Modèle:Loupe

  • <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^s}</math> où Modèle:Math est la fonction de Möbius.
  • <math>\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}

\frac{\varphi(n)}{n^s}</math> où Modèle:Math est l'indicatrice d'Euler
et plus généralement, <math>\frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_k(n)}{n^s}</math> où Modèle:Math est la fonction totient de Jordan.

=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s}</math>.

Propriétés analytiques

Dans beaucoup de cas, la fonction analytique associée à une série de Dirichlet possède un prolongement analytique sur un domaine plus large. Ceci est le cas pour la fonction zêta de Riemann, méromorphe sur ℂ avec un unique pôle en Modèle:Math. Une des conjectures les plus importantes et non résolues des mathématiques appelée l'hypothèse de Riemann concerne les zéros de cette fonction.

Une première étape dans l'étude du prolongement analytique d'une série de Dirichlet générale

<math>f(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\mathrm e^{-s\lambda_n}</math>

est de définir une nouvelle série de Dirichlet

<math>F(s)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_n\mathrm e^{-s\mu_n},\quad\mathrm{o\grave u}\quad\mu_n=\mathrm e^{\lambda_n}</math>,

qui converge au moins sur le demi-plan Modèle:Math si Modèle:Math (et même sur tout le plan si Modèle:Math).

En utilisant que la [[fonction gamma|fonction Modèle:Math]] vérifie, pour tout complexe Modèle:Mvar de partie réelle Modèle:Math (par changement de variable Modèle:Math)

<math>\mathrm e^{-s\lambda_n}\Gamma(s)=\mathrm e^{-s\lambda_n}\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-x}x^{s-1}~\mathrm dx=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t\mu_n}t^{s-1}~\mathrm dt</math>

et en justifiant l'interversion série-intégrale par des majorations adéquates<ref name=PetkovYger47>Modèle:Harvsp</ref>, on obtient alors, pour tout complexe Modèle:Mvar tel que Modèle:Math :

<math>f(s)=\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty F(t)t^{s-1}~\mathrm dt</math><ref>On voit apparaître la transformée de Mellin de Modèle:Mvar.</ref>,<ref>Le cas particulier où Modèle:Mvar est la fonction zêta de Riemann — Modèle:Math étant alors clairement égal à Modèle:Math — est traité dans le § « Expression intégrale » de l'article « Fonction zêta de Riemann ».</ref> .

On en déduit au passage<ref name=PetkovYger47/> que pour tout Modèle:Math, Modèle:Math est la valeur principale de

<math>\frac1{2\pi\mathrm i}\int_{\sigma-\mathrm i\infty}^{\sigma+\mathrm i\infty}\Gamma(\zeta)f(\zeta)\zeta^{-s}~\mathrm d\zeta</math>.

Mais l'expression de Modèle:Mvar en fonction de Modèle:Mvar est surtout utile pour en déduire un prolongement méromorphe, sous certaines hypothèses : Modèle:Théorème

Modèle:Démonstration{k-q+s}</math>.

Or cette série converge pour tout complexe Modèle:Mvar différent des entiers Modèle:Math (car le rayon de convergence de la série entière de coefficients Modèle:Mvar n'est pas modifié lorsqu'on divise ces coefficients par les Modèle:Math) et définit une fonction méromorphe, de pôles (simples) les Modèle:Math pour tout entier naturel Modèle:Mvar. Comme la fonction Modèle:Math est entière, on obtient ainsi un prolongement méromorphe, que nous noterons encore Modèle:Mvar, à tout le plan complexe :

<math>f(s)=\frac1{\Gamma(s)}\left(\sum_{k=0}^\infty\frac{c_kx^{k-q+s}}{k-q+s}+\int_x^{+\infty}F(t)t^{s-1}~\mathrm dt\right)</math>.

Enfin, les zéros de Modèle:Math aux points Modèle:Math, etc. compensent les pôles simples correspondants, donc Modèle:Mvar a pour seuls pôles éventuels (simples) Modèle:Nobr

On peut de plus calculer, aux entiers Modèle:Math, le résidu ou la valeur de Modèle:Mvar, selon que Modèle:Math ou Modèle:Math :

<math>\forall n\in\{q,q-1,\ldots,1\}\quad \text{Res}(f,n)=\frac{c_{q-n}}{\Gamma(n)}</math>
<math>\forall n\in\N\quad f(-n)=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac1{\Gamma(-n+\varepsilon)}\frac{c_{q+n}x^{\varepsilon}}{\varepsilon}=\frac{c_{q+n}}{\text{Res}(\Gamma,-n)}=(-1)^n~n!~c_{q+n}</math>.

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Historique

Dirichlet définit ces séries en 1837 et les utilisa pour démontrer le théorème de la progression arithmétique, selon lequel il existe une infinité de nombres premiers dans toute progression arithmétique Modèle:Nobr dès que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont premiers entre eux. Elles ne furent étudiées qu'à partir des travaux d'Eugène Cahen, qui en fit son sujet de thèse en 1894. Mais sa thèse fut l'objet de nombreuses critiques et provoqua ainsi de nouveaux travaux<ref>Modèle:Citation étrangère, Modèle:Harvsp</ref>. La définition des fonctions presque périodiques par Harald Bohr permit de montrer que les fonctions définies par les séries de Dirichlet à coefficients positifs sont presque périodiques dans le demi-plan de convergence absolue.

Une partie du développement de la théorie, vue sous l'angle historique se trouve sous ce lien. Modèle:Article détaillé

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence

Notes

<references/>

Références

Bibliographie complémentaire

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