Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs

En mathématiques, la fonction "somme des puissances k-ièmes des diviseurs", notée <math>\sigma_k</math>, est la fonction multiplicative qui à tout [[Entier naturel|entier Modèle:Math]] associe la somme des puissances <math>k</math>-ièmes des diviseurs positifs de Modèle:Math, où <math>k</math> est un nombre complexe quelconque <ref name=":0">Gérald Tenenbaum, Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres, Belin, page 26.</ref>:

<math>\sigma_{k}(n)=\sum_{d|n} d^k.</math>

Propriétés

• La fonction <math>\sigma_k</math> est multiplicative, c'est-à-dire que, pour tous entiers Modèle:Math et Modèle:Math premiers entre eux, <math>\sigma_{k}(mn)=\sigma_{k}(m)\sigma_{k}(n)</math>. En effet, <math>\sigma_k</math> est le produit de convolution de deux fonctions multiplicatives : la fonction puissance <math>k</math>-ième et la fonction constante 1.
• Si Modèle:Math est un nombre premier alors <math>\sigma_k(p^q)</math>est une somme partielle de série géométrique :<math>\forall q\in\N,\quad\sigma_k(p^q)=1+p^k+p^{2k}+\ldots+p^{q k}=

\begin{cases}\frac{p^{(q+1)k}-1}{p^k-1}&\text{si }p^k\ne1,\\q+1&\text{si }p^k=1.\end{cases}</math>(La condition Modèle:Math équivaut à Modèle:Math, ce qui est vrai pour tous les Modèle:Math si Modèle:Math est nul et pour au plus un sinon.) En particulier, <math>\sigma_k</math> n'est pas complètement multiplicative.

• L'utilisation des deux propriétés précédentes permet de déterminer Modèle:Math connaissant la décomposition en facteurs premiers de Modèle:Math :<math>{\rm si}\quad n=\prod_{i=1}^rp_i^{q_i}\quad{\rm alors}\quad\sigma_k(n)=

\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{q_i}p_i^{jk}.</math>

• On peut aussi calculer Modèle:Math(p^q) par les polynômes de Tchebychev : soient Modèle:Math le polynôme de Tchebychev de seconde espèce de degré Modèle:Math, et Modèle:Math sa renormalisation, définie par Modèle:Math. Alors<ref name="Royer22">Emmanuel Royer. Un cours « Africain » sur les formes modulaires.</ref> :<math>\frac{\sigma_k(p^q)}{p^{kq/2}}=X_q\left(\frac{\sigma_k(p)}{p^{k/2}}\right).</math>

Modèle:Démonstration/début Notons Modèle:Math. Il s'agit de prouver que

ou, plus généralement, qu'on a l'égalité de polynômes :

Modèle:Retrait Il suffit pour cela de la vérifier sur une infinité de valeurs. Or pour tout réel Modèle:Math non multiple de Modèle:Math, en posant Modèle:Math, on a

Modèle:Retrait{t-t^{-1}} </math>}}

donc

Modèle:Retraitt\frac{t^{q+1}-t^{-(q+1)}}{t-t^{-1}}=\frac{t^{2(q+1)}-1}{t^2-1}=1+t^2+t^4+...+t^{2q}, </math>}}

ce qui conclut. Modèle:Démonstration/fin

• Par multiplicativité, on déduit du point précédent<ref name="Royer22" /> :<ref name=":0" /><math>\sigma_k(m)\sigma_k(n)=\sum_{d\mid(m,n)} d^k\sigma_k\left(\frac{mn}{d^2}\right)</math>(où Modèle:Math désigne le pgcd de Modèle:Math et Modèle:Math) puis, par inversion de Möbius :<math>\sigma_k(mn)=\sum_{d\mid (m,n)}\mu(d)d^k\sigma_k\left(\frac md\right)\sigma_k\left(\frac nd\right)</math>.
• On a l'identité permettant d'évaluer l'ordre moyen de <math>\sigma_k</math> : <math>\sum_{i = 1}^n \sigma_k(i) =

\sum_{d=1}^n \sum_{m=1}^{\left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}m^k\, \overset{\text{aussi}}{=}\,\sum_{m=1}^n \left \lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor m^k</math><ref name=":0" /> Modèle:Démonstration/début <math>\sum_{i = 1}^n \sigma_k(i) = \sum_{i=1}^n \sum_{m| i}m^k= \sum_{\begin{matrix} m,d\\ 1\leqslant md\leqslant n \end{matrix}}m^k= \sum_{d=1}^n \sum_{m=1}^{\left \lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}m^k\, \overset{\text{aussi}}{=}\,\sum_{m=1}^n \left \lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor m^k </math> Modèle:Démonstration/fin

• La série de Dirichlet associée à <math>\sigma_k</math> s'exprime à l'aide de la [[Fonction zêta de Riemann|fonction Modèle:Math de Riemann]] :<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_{k}(n)}{n^s}=\zeta(s) \zeta(s-k)</math>et l'on a la relation :<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_k(n)\sigma_l(n)}{n^s}=

\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)\zeta(s-l)\zeta(s-k-l)}{\zeta(2s-k-l)}.</math>

Cas où k est un entier naturel

Fonction nombre de diviseurs

La fonction<ref>Modèle:Citation étrangère, Modèle:OEIS.</ref> <math>\sigma_0</math> (Modèle:Citation), également notée<ref>Modèle:Ouvrage ; Modèle:EllisonMendesFrance.</ref> Modèle:Mvar, est aussi appelée fonction tau<ref>Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.</ref><ref name=":0" /> (de l'allemand Modèle:Lang : diviseur) et notée Modèle:Math. Elle compte le nombre de diviseurs positifs de Modèle:Math :

<math> d(n)=\tau(n)=\sum_{d|n} 1 = \operatorname{Card} \{ 1\leqslant d \leqslant n : d|n \}=\prod_{i=1}^r(k_i+1).</math>

La suite <math>(\sigma_0(n))</math> est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Fonction somme des diviseurs

La fonction sigma <math>\sigma_1</math> est parfois notée Modèle:Math. On a

<math>\sigma(n)=\sum_{d|n}d=\prod_{i=1}^r\sum_{j=0}^{q_i}p_i^j=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{q_i+1}-1}{p_i-1}.</math>

Par exemple, si Modèle:Math pour deux nombres premiers distincts Modèle:Math et Modèle:Math, alors

Modèle:Retrait où φ est l'indicatrice d'Euler.

La somme des diviseurs stricts de Modèle:Math est Modèle:Retrait L'entier Modèle:Math est dit parfait si Modèle:Math, déficient si Modèle:Math et abondant si Modèle:Math.

La suite <math>(\sigma_1(n))</math> est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Autres valeurs de Modèle:Mvar

La suite <math>(\sigma_2(n))</math> est répertoriée comme Modèle:OEIS.

La suite <math>(\sigma_3(n))</math> est répertoriée comme Modèle:OEIS.

Notes et références

<references responsive="1" group=""></references>

Voir aussi

Articles connexes

• Constante d'Erdős-Borwein
• Constante d'Euler-Mascheroni
• Ordre moyen d'une fonction arithmétique
• Série de Lambert