Série de Lambert

En mathématiques, une série de Lambert, nommée ainsi en l'honneur du mathématicien Jean-Henri Lambert, est une série génératrice prenant la forme

<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac {q^n}{1-q^n}</math>.

Elle peut être resommée formellement en développant le dénominateur :

<math>S(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty q^{nk} = \sum_{m=1}^\infty b_m q^m </math>

où les coefficients de la nouvelle série sont donnés par la convolution de Dirichlet de Modèle:Math avec la fonction constante Modèle:Math :

<math>b_m = (a*{\mathbf 1})(m) = \sum_{n\mid m} a_n</math>.

Exemples

La série de Lambert de certaines fonctions multiplicatives se calcule facilement ; par exemple :

• la série de Lambert de la fonction de Möbius Modèle:Math est la série génératrice ordinaire de Modèle:Math ✻ Modèle:Math = δ₁ :<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)q^n}{1-q^n}=q</math> ;
• celle de Modèle:Math est la série ordinaire de la fonction Modèle:Math (nombre de diviseurs) :<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^{\infty}q^n \sigma_0(n)</math> ;
• plus généralement, celle de la fonction puissance Modèle:Math_a(n) = n^a (où Modèle:Math est un nombre complexe) est la série ordinaire de la fonction Modèle:Math_a ✻ Modèle:Math = Modèle:Math ([[fonction diviseur|somme des puissances Modèle:Math-ièmes des diviseurs]]) :<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^a q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^{\infty}q^n\sigma_a(n)</math> ;
• de même, celle de la fonction totient de Jordan est la série ordinaire de la fonction puissance : <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{J_k(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{m=1}^{\infty}m^kq^m</math>. En particulier,

  la série de Lambert de l'indicatrice d'Euler Modèle:Math est : <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\varphi(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{m=1}^{\infty}mq^m=\frac q{(1-q)^2}</math>

Les séries de Lambert dans lesquelles les Modèle:Math sont des fonctions trigonométriques, par exemple, Modèle:Math, peuvent être évaluées en utilisant diverses combinaisons des dérivées logarithmiques des fonctions thêta de Jacobi.

Voir aussi

Articles connexes

• Constante d'Erdős-Borwein
• Série de Lambert pour la fonction de Liouville
• Séries de Fourier des séries d'Eisenstein
• Fonction zêta de Riemann et ses valeurs aux points entiers
• Une utilisation des séries de Lambert pour démontrer un théorème de Jacobi