Nombre d'Euler

{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:Homon Les nombres d'Euler E_n forment une suite d'entiers naturels<ref>Modèle:Ouvrage. Certains auteurs utilisent le développement de 1/cosh(x), pour lequel les coefficients ont des signes alternés.</ref> définis par le développement en série de Taylor suivant :

<math>\frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^{\infin} E_n \frac{x^n}{n!} </math>

On les appelle aussi parfois les nombres sécants ou nombres zig-zag.

Premiers nombres d'Euler

Les nombres d'Euler d'indice impair sont tous nuls. Ceux d'indice pair (Modèle:OEIS) sont strictement positifs. Les premières valeurs sont :

<math>E_0 =</math> 1

<math>E_2 =</math> 1

<math>E_4 =</math> 5

<math>E_6 =</math> 61

<math>E_8 =</math> 1 385

<math>E_{10} =</math> 50 521

<math>E_{12} =</math> 2 702 765

<math>E_{14} =</math> 199 360 981

<math>E_{16} =</math> Modèle:Nombre

<math>E_{18} =</math> 2 404 879 675 441

Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante (qui est la fonction dans la définition) :

<math>\frac{1}{\cos x} = 1 + E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} + E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots</math>

et, dans la version alternée de la série, dans celui de la fonction sécante hyperbolique :

<math>\frac{1}{\cosh x} = 1 - E_2 \frac{x^2}{2!} + E_4 \frac{x^4}{4!} - E_6 \frac{x^6}{6!} + \dots</math>.

Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire. Une configuration zig-zag de taille n est une liste de n nombres réels Modèle:Math tels que

<math>z_1 > z_2 < z_3 > z_4 \dots</math>.

Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres z sont les mêmes.

Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.

Formules explicites

Sommations

Une formule explicite pour les nombres d'Euler est Modèle:Refsou :

<math>E_{2n}= (-1)^n\mathrm{i}\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k {k\choose j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k \mathrm{i}^k k}</math>

où [[Unité imaginaire|Modèle:Math]] est un nombre complexe tel que Modèle:Math.

Sommes sur les partitions

Le nombre E_2n s'exprime comme une somme sur les partitions paires de 2n<ref>Modèle:Article.</ref> :

<math> E_{2n} = (-1)^n (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n}~ \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)

\delta_{n,\sum mk_m } \left( \frac{-1~}{2!} \right)^{k_1} \left( \frac{-1~}{4!} \right)^{k_2} \cdots \left( \frac{-1~}{(2n)!} \right)^{k_n} ,</math>

et aussi comme une somme sur les partitions impaires de 2n − 1<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Modèle:Lien arXiv</ref> :

<math> E_{2n} = - (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}

\left( \begin{array} {c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right) \delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m } \left( \frac{-1~}{1!} \right)^{k_1} \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2} \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n} , </math>

où, dans les deux cas, <math> K =k_1 + \cdots + k_n</math> et

<math> \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)

         \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}</math>

est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux k_i tels que <math> 2k_1 + 4k_2 + \cdots +2nk_n=2n</math> et <math> k_1 + 3k_2 + \cdots +(2n-1)k_n=2n-1</math>, respectivement.

Par exemple,

<math>

\begin{align} E_{10} & = -10! \left( - \frac{1}{10!} + \frac{2}{2!8!} + \frac{2}{4!6!} - \frac{3}{2!^2 6!}- \frac{3}{2!4!^2} +\frac{4}{2!^3 4!} - \frac{1}{2!^5}\right) \\ & = -9! \left( - \frac{1}{9!} + \frac{3}{1!^27!} + \frac{6}{1!3!5!} +\frac{1}{3!^3}- \frac{5}{1!^45!} -\frac{10}{1!^33!^2} + \frac{7}{1!^6 3!} - \frac{1}{1!^9}\right) \\ & = 50\,521. \end{align} </math>

Avec un déterminant

E_2n est aussi donné par le déterminantModèle:Refsou :

<math>

\begin{align} E_{2n} &= (2n)!~ \begin{vmatrix} \frac{1}{2!}& 1 &~& ~&~\\

                                                            \frac{1}{4!}&  \frac{1}{2!} & 1 &~&~\\
                                                                \vdots & ~  &  \ddots~~ &\ddots~~ & ~\\
                                                              \frac{1}{(2n-2)!}& \frac{1}{(2n-4)!}& ~&\frac{1}{2!} &  1\\
                                                              \frac{1}{(2n)!}&\frac{1}{(2n-2)!}& \cdots &  \frac{1}{4!} & \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.

\end{align}

</math>