Triangle de Pascal
En mathématiques, le triangle de Pascal est une présentation des coefficients binomiaux dans un tableau triangulaire. Il a été nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Blaise Pascal. Il est connu sous l'appellation « triangle de Pascal » en Occident, bien qu'il ait été étudié par d'autres mathématiciens, parfois plusieurs siècles avant lui, en Inde, en Perse (où il est appelé « triangle de Khayyam »), au Maghreb, en Chine (où il est appelé « triangle de Yang Hui »), en Allemagne et en Italie (où il est appelé « triangle de Tartaglia »).
La construction du triangle est régie par la relation de Pascal :
- <math> {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}</math>
pour tous entiers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar tels que Modèle:Math<ref group="note">Ou plus généralement, pour tous entiers relatifs Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, avec la convention <math>{n\choose k}=0</math> si <math>k<0</math> ou <math>k>n</math>.</ref>.
Le triangle de Pascal peut être généralisé à d'autres dimensions. La version tridimensionnelle est appelée pyramide de Pascal ou tétraèdre de Pascal, tandis que les versions générales sont appelées simplexes de Pascal.
Histoire
La tradition attribue le nom de triangle de Pascal au triangle décrit plus haut. Cependant, ce triangle était déjà connu en Orient et au Moyen-Orient plusieurs siècles avant la publication de Blaise Pascal. Il était ainsi connu des mathématiciens persans, par exemple al-Karaji (953-1029)<ref>Modèle:MacTutor</ref> ou Omar Khayyam au Modèle:Lien siècleModèle:Vérification siècle ou des mathématiciens du Maghreb comme Ibn al-Banna<ref>Modèle:MacTutor</ref> et ses disciples qui l'utilisent pour développer Modèle:Math. Il apparaît en Chine dès 1261 dans un ouvrage de Yang Hui (au rang 6) et dans le Miroir de jade des quatre éléments de Zhu Shijie en 1303 (au rang 8). Yang Hui attribue la paternité du triangle au mathématicien chinois du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Jia Xian. Ce triangle permettait de présenter les coefficients des différents termes dans la formule du binôme et, selon Victor J. Katz, il était utilisé pour généraliser à des degrés supérieurs à 2 la méthode d'extraction de racine<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} V. J. Katz, A History Of Mathematics: An Introduction, 1992 (d'après Binomial Theorem and the Pascal Triangle, par l'UniSA).</ref>.
En Europe, il apparaît dans l'ouvrage de Peter Apian, Rechnung<ref> Site de Gérard Villemin.</ref> (1527). Il est étudié par Michael Stifel (1486-1567)<ref>Henri Bosmans, Note historique sur le triangle arithmétique Modèle:PDF.</ref>, Tartaglia (1499-1557) et François Viète (1540-1603). C'est d'ailleurs sous le nom de « triangle de Tartaglia » qu'il est connu en Italie. Il est également connu de Marin Mersenne (1588-1648)<ref> Modèle:Ouvrage.</ref>. Mais c'est Blaise Pascal qui lui consacre un traité : le Traité du triangle arithmétique (1654) démontrant 19 de ses propriétés, propriétés découlant en partie de la définition combinatoire des coefficients. Nombre de ces propriétés étaient déjà connues mais admises et non démontrées. Pour les démontrer, Pascal met en place dans son traité une version aboutie du raisonnement par récurrence. Il y démontre le lien entre le triangle et la formule du binôme. Il l'utilise dans la résolution d'un problème de partage équitable des enjeux dans un jeu de hasard qui est interrompu avant le terme défini (problème des partis)<ref group=note>Usage du triangle arithmétique pour déterminer les partis qu'on doit faire entre deux joueurs qui jouent en plusieurs parties.</ref>.
Construction
Combinatoire
En écrivant la formule de Pascal,
- pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i, <math>{i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}</math>,
on remarque que le coefficient de la ligne i et colonne j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne i - 1 et colonne j - 1 et de la ligne i - 1 et colonne j. De plus on a :
- <math>{n \choose 0}={n \choose n}=1</math>.
On en déduit une méthode de construction du triangle de Pascal, qui consiste, sous forme pyramidale, à placer 1 au sommet de la pyramide, puis 1 et 1 en dessous, de part et d'autre. Les extrémités des lignes sont toujours des 1, et les autres nombres sont la somme des deux nombres directement au-dessus.
Sous forme triangulaire, i étant l'indice de ligne et j l'indice de colonne :
- placer dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale,
- en partant du haut et en descendant, compléter le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.
Nombre de chemins dans un réseau binaire
Imaginons que chaque nombre dans le triangle est un nœud dans un réseau qui est connecté aux nombres adjacents du dessus et du dessous. Maintenant pour n'importe quel nœud dans le réseau, comptons le nombre de chemins qu'il y a dans le réseau (sans faire une marche arrière) qui connecte ce nœud au nœud supérieur du triangle. La réponse est le nombre de Pascal associé à ce nœud.
Propriétés
Liées à la construction
Concernant les lignes horizontales
- Le triangle est symétrique par rapport à un axe vertical ; il en est donc de même pour chaque ligne : par exemple, la ligne de rang 4 est 1, 4, 6, 4, 1.
- La somme des termes d'une ligne est le double de la somme précédente ; elle est donc égale à 2n pour la ligne de rang n (première ligne = rang 0)
Concernant les lignes obliques
Elle repose sur égalité connue comme l'Identité des crosses de hockey<ref>Modèle:MathWorld.</ref> : <math display=block>\sum_{j=n}^r\binom jn=\binom{r+1}{n+1}</math>.
Si l'on fait une somme de termes, en partant d'un bord gauche du triangle et en descendant en oblique vers la droite, on obtient le terme situé en diagonale en bas à gauche du dernier terme de la somme.
- Exemple 1 : descente en diagonale de 4 termes à partir de la Modèle:3e ligne : 1 + 3 + 6 + 10 = 20, terme situé en bas à gauche du dernier terme.
- Exemple 2 : descente en diagonale de 5 termes à partir de la Modèle:5e ligne : 1 + 5 + 15 + 35 + 70 = 126, terme situé en bas à gauche du 70.
Concernant les diagonales ascendantes
Lorsque le triangle est disposé comme dans la figure ci-contre à gauche (au lieu d'être symétrique par rapport à une verticale), la somme des termes des diagonales de pente 1 forme la suite de Fibonacci. Si, au lieu d'en faire la somme, on compte le nombre de coefficients impairs sur ces diagonales, on obtient la suite diatomique de Stern (figure de droite).
Formule du binôme
Modèle:Article détaillé Le triangle de Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux. En effet, on trouve sur une même ligne tous les coefficients intervenant dans le développement d'une puissance de la somme de deux termes.
- Exemple : Modèle:Math et les coefficients de chaque monôme sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal (la ligne de rang 2), c'est-à-dire 1, 2, 1.
- Généralisation : Modèle:Math, où les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1e ligne du triangle de Pascal (ligne de rang n).
Connaissant ainsi la formule de sommation <math>(a+b)^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}a^{n-i}b^{i}</math>, plusieurs propriétés apparaissent simplement.
Posons Modèle:Math, on a alors <math>2^n =\sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,{} </math>.
Posons Modèle:Math et Modèle:Math, on a alors <math>0 = \sum_{i=0}^n\,{n \choose i}\,(-1)^i </math>.
Connaissant ces deux égalités, dont l'une est une somme alternée, il vient que la somme des termes d'ordre 0, 2, 4,... dans une rangée est Modèle:Math et est égale à la somme des termes d'ordre 1, 3, 5, ....
Propriété liée au dénombrement
Le nombre situé dans la colonne Modèle:Mvar (en comptant à partir de 0 les colonnes) et la ligne Modèle:Mvar (en comptant à partir de 0 les lignes) indique le nombre de combinaisons possibles de Modèle:Mvar éléments dans un ensemble à Modèle:Mvar éléments.
Dans la ligne Modèle:Mvar et la colonne Modèle:Mvar, on a <math>{n \choose p}= \frac{n!}{p!(n-p)!}</math>.
- Dans la ligne Modèle:Mvar et la colonne Modèle:Mvar, on lit le nombre de fois où l'on peut espérer obtenir Modèle:Mvar piles et Modèle:Mvar faces lors de Modèle:Mvar lancers d'une pièce équilibrée <ref group=note>Formule exploitée par Pascal dans son problème des partis.</ref>
- En multipliant un terme par le rang de sa colonne et en le divisant par le rang de sa ligne, on obtient le terme situé un cran plus haut sur la gauche
- exemple le terme dans la ligne 6 et la colonne 4 est 15 (on rappelle que les lignes et les colonnes sont numérotées en commençant à 0) ; or 15 × 4/6=10 situé dans la case juste à côté en haut à gauche.
- En multipliant le terme de ligne Modèle:Mvar et de colonne Modèle:Mvar par<math> \frac{n-p}{p+1}</math>, on obtient son voisin sur la droite
- Tous les termes de la ligne de rang Modèle:Mvar (sauf le premier et le dernier) sont multiples de Modèle:Mvar si et seulement si Modèle:Mvar est un nombre premier
Nombres de Catalan
Modèle:Article détaillé Toutes les lignes de rang pair (Modèle:Math) ont un terme central, en divisant ce terme par n+1 ou en lui ôtant son voisin, on obtient un nombre de Catalan.
Triangle de Sierpiński
Si l'on inscrit le triangle de Pascal dans une trame triangulaire, la réunion des cellules contenant des termes impairs est un triangle de Sierpiński<ref>Ian Stewart, « Les fractals de Pascal », Pour la science, Modèle:N°, 1988, Modèle:P.. Selon ce site.</ref>.
Si Modèle:Mvar est un nombre premier supérieur à Modèle:Math, on peut obtenir des structures fractales analogues en coloriant toutes les cellules qui ne sont pas congrues à Modèle:Mvar modulo Modèle:Mvar.
Nombres figurés
Modèle:Article détaillé Les nombres situés sur la troisième diagonale descendante correspondent aux nombres triangulaires, ceux de la quatrième diagonale aux nombres tétraédriques, ceux de la cinquième diagonale aux nombres pentatopiques et ceux de la n-ième diagonale aux nombres n-topiques.
Formules trigonométriques
La formule du binôme appliqué à la formule de Moivre
- <math> (\cos(\theta) + \mathrm{i}\sin(\theta))^n = \cos(n\theta)+\mathrm{i}\sin(n\theta)</math>
permet de développer Modèle:Math et Modèle:Math.
Les coefficients situés sur la ligne de rang n permettent d'écrire Modèle:Math en fonction de Modèle:Math
- Exemple : sur la ligne 4 on lit 1 – 4 – 6 – 4 – 1 et <math>\tan(4\theta) = \frac{4t -4t^3 }{1-6t^2 + t^4}</math>
- Formule générale : <math>\tan(n\theta) = \frac{\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor}{(-1)^k {n \choose 2k+1}t^{2k+1}}}{\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}(-1)^k{n \choose 2k}t^{2k}}</math>.
Les coefficients situés sur une diagonale ascendante permettent d'exprimer Modèle:Math comme produit de Modèle:Math par un polynôme en Modèle:Math (voir Polynôme de Tchebychev) :
- Exemple : sur la diagonale ascendante de rang 5, on lit 1 – 3 – 1 et
- où U4 est le polynôme de Tchebychev de seconde espèce d'ordre 4.
- Généralisation<ref>Henri Immediato, Calcul pratique avec le triangle de Pascal.</ref> : si les termes de la diagonale ascendante de rang n sont <math>a_{n,0}, a_{n,1}, \cdots a_{n,[(n-1)/2]}</math>, on a
Par conséquent, les coefficients situés sur la diagonale ascendante de rang n permettent de déterminer un polynôme de degré [(n-1)/2] dont les racines sont les valeurs <math> \left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2</math><ref>Comment calculer les nombres réels COS(pi/n) grâce au triangle de Pascal.</ref> pour k variant de 1 à <math>\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor.</math>
- Exemple : sur la diagonale de rang 7, on lit 1 – 5 – 6 – 1, on sait donc que les <math> \left(2\cos\left(\frac{k\pi}7\right)\right)^2</math> (pour k = 1, 2, 3) sont les racines de <math> P(x)= x^3 - 5x^2 + 6x - 1</math>.
- Généralisation : <math>P(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor}(-1)^k a_{n,k} x^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor - k}</math> a pour racines <math> \left(2\cos\left(\frac{k\pi}{n}\right)\right)^2</math>.
Transformée de Fourier de sin(x)n+1/x
Les coefficients de (x + 1)n sont la ne ligne du triangle. Les coefficients de (x − 1)n sont les mêmes, sauf que le signe est alterné.
Après une normalisation appropriée, la même suite de nombres est présente dans la transformée de Fourier de sin(x)n+1/x.
Plus précisément : si n est pair, il faut prendre la partie réelle de la transformée et si n est impair, il faut prendre la partie imaginaire.
Le résultat est alors une fonction en escalier dont les valeurs (convenablement normalisées) sont données par la ne rangée du triangle en alternant les signes.
Ainsi :
- <math>\,\mathfrak{Re}\left(\text{Fourier} \left[ \frac{\sin(x)^5}{x} \right]\right)</math>
compose la Modèle:4e du triangle, avec des signes alternés.
C'est une généralisation du résultat suivant (souvent utilisé en ingénierie électrique) :
- <math>\,\mathfrak{Re}\left(\text{Fourier} \left[ \frac{\sin(x)}{x}\right] \right)</math>
est la fonction de Heaviside.
La rangée correspondante du triangle est la rangée 0, qui est restreinte au nombre 1.
Généralisations
Binôme généralisé
La relation de Pascal s'étend aux coefficients binomiaux généralisés <math>r\choose k</math>, dans lesquels <math>r</math> est un nombre complexe.
Généralisation aux dimensions supérieures
Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la pyramide de Pascal.
Généralisation pour rangées négatives
Le triangle de Pascal se généralise pour les rangées négatives.
D'abord, il faut écrire le triangle sous la forme suivante, nommée tableau A(m,n) :
| m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
| n = 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Ensuite l'écrire de la façon suivante :
| m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
| n = -4 | 1 | ... | |||||
| n = -3 | 1 | ... | |||||
| n = -2 | 1 | ... | |||||
| n = -1 | 1 | ... | |||||
| n = 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
La formule :
- <math> {n \choose m} = {n-1 \choose m-1} + {n-1 \choose m}</math>
peut être ré-arrangée de la façon suivante :
- <math> {n-1 \choose m} = {n \choose m} - {n-1 \choose m-1}</math>
ce qui permet le calcul des termes de rang négatif :
| m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
| n = −4 | 1 | −4 | 10 | −20 | 35 | −56 | ... |
| n = −3 | 1 | −3 | 6 | −10 | 15 | −21 | ... |
| n = −2 | 1 | −2 | 3 | −4 | 5 | −6 | ... |
| n = −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | ... |
| n = 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 2 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| n = 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Cette extension préserve les formules :
- <math>
{n \choose m} = \frac{1}{m!}\prod_{k=0}^{m-1} (n-k) = \frac{1}{m!}\prod_{k=1}^{m} (n-k+1) </math>.
et
- <math>
(1+x)^n = \sum_{k=0}^\infty {n \choose k} x^k \quad\textrm{ pour } |x| < 1 </math>
Ainsi :
- <math>
(1+x)^{-2} = 1-2x+3x^2-4x^3+... \quad \textrm{ pour } |x| < 1 </math>
Une autre possibilité d'extension par rapport aux rangées négatives est la suivante :
| m = -4 | m = -3 | m = -2 | m = -1 | m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
| n = -4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | |
| n' = -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | ||
| n = -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | |||
| n = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| n = 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
En appliquant les mêmes règles que précédemment, il vient :
| m = -4 | m = -3 | m = -2 | m = -1 | m = 0 | m = 1 | m = 2 | m = 3 | m = 4 | m = 5 | ... | |
| n = -4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = -3 | -3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = -2 | 3 | -2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = -1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | .. |
| n = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | ... |
| n = 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 3 | 3 | 1 | 0 | 0 | ... |
| n = 4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | 0 | ... |
Cette généralisation permet de conserver la propriété d'exponentielle d'une matrice. En effet, comme on a,
- <math>
\exp\begin{pmatrix} . & . & . & . & . \\ 1 & . & . & . & . \\ . & 2 & . & . & . \\ . & . & 3 & . & . \\ . & . & . & 4 & . \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & . & . & . & . \\ 1 & 1 & . & . & . \\ 1 & 2 & 1 & . & . \\ 1 & 3 & 3 & 1 & . \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{pmatrix} </math>,
on étend à,
- <math>
\exp\begin{pmatrix} . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ -4 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & -3 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & -2 & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & -1 & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & 0 & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & 2 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & 3 & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . & 4 & . \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ -4 & 1 & . & . & . & . & . & . & . & . \\ 6 & -3 & 1 & . & . & . & . & . & . & . \\ -4 & 3 & -2 & 1 & . & . & . & . & . & . \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 1 & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 1 & 1 & . & . & . \\ . & . & . & . & . & 1 & 2 & 1 & . & . \\ . & . & . & . & . & 1 & 3 & 3 & 1 & . \\ . & . & . & . & . & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \end{pmatrix} </math>
Ces deux généralisations peuvent être aussi obtenues à l'aide de la fonction gamma, en écrivant :
- <math> {n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \equiv \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n-k+1)\Gamma(k+1)}</math>.
Notes et références
Notes
<references group=note/>
Références
Voir aussi
Articles connexes
Liens externes
- Modèle:MathWorld
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Leibniz and Pascal Triangles sur cut-the-knot
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Dot Patterns, Pascal Triangle and Lucas Theorem sur cut-the-knot
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (P)
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- Explication vidéo et en image du triangle de Pascal. Réalisé par Clermont Auvergne Métropole.
