Nombre pentatopique

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Fichier:Pentatope of 70 spheres animation.gif

Un pentatope à 70 sphères. Chaque niveau représente un des 5 premiers nombres tétraédriques. Par exemple, le niveau vert possède 35 sphères en tout.

Un nombre pentatopique est un nombre de la cinquième diagonale descendante du triangle de Pascal. Les premiers nombres de cette sorte sont 1, 5, 15, 35, 70, et 126.

Les nombres pentatopiques sont des nombres figurés. Ils peuvent idéalement être représentés en dimension 4 par un pentachore constitué d'un empilement de tétraèdres réguliers.

Le nombre pentatopique de rang n est donc la somme des n premiers nombres tétraédriques

<math>P_4(n) = \sum _{k=1}^{n} P_3(k) = \sum _{k=1}^{n} {k +2 \choose 3}</math>

On obtient donc la formule

<math>P_4(n) = {n +3 \choose 4}</math>

Il n'est donc pas surprenant de les rencontrer dans la cinquième diagonale du triangle de Pascal.