Fonction gamma
En mathématiques, la fonction gamma (notée par Modèle:Math la lettre grecque majuscule gamma de l'alphabet grec) est une fonction utilisée communément, qui prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes. En ce sens, il s'agit une fonction complexeModèle:Quoi. Elle est considérée également comme une fonction spécialeModèle:Pourquoi. La fonction gamma est définie pour tous les nombres complexes, à l'exception des entiers négatifs. On a pour tout entier <math>n</math> strictement positif,
<math>\Gamma(n) = (n-1)!</math>
où <math>(n-1)!</math> est la factorielle de <math>n-1</math>, c'est-à-dire le produit des entiers entre 1 et <math>n-1</math> : <math>(n-1)! = 1\times 2\times \dots\times(n-1)</math>.
Définition
On définit la fonction gamma, et notée par la lettre grecque Modèle:Math (gamma majuscule) de la façon suivante. Pour tout <math>z</math> de partie réelle strictement positive, on pose
- <math>\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}\,\mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t</math>.
C'est une intégrale paramétrée par <math>z</math>, l'intégration se faisant sur <math>t</math>. Cette intégrale impropre converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive<ref name=Wikiversité/>, et une intégration par parties<ref name=Wikiversité>Modèle:Note autre projet</ref> montre que
- <math>\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)</math>.
Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0, −1, −2, −3… qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement « fonction gamma ». L'unicité du prolongement analytique permet de montrer que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente. Cela permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale, et un calcul de proche en proche de Γ pour z – 1, z – 2Modèle:Etc.
Autres définitions
Par changement de variable, l'intégrale précédente (pour Modèle:Math) s'écrit aussi :
- <math>\Gamma(z)=2\int_0^{+\infty}u^{2z-1}\mathrm e^{-u^2}\,\mathrm du\quad\text{et}\quad\Gamma(z)=\int_0^1\left(-\ln s\right)^{z-1}\,\mathrm ds</math>.
La définition suivante de la fonction gamma par produits infinis, due à Euler, a un sens pour les nombres complexes Modèle:Mvar qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls<ref>Pour le cas particulier où Modèle:Mvar est un réel strictement positif, voir l'article Théorème de Bohr-Mollerup. Modèle:Note autre projet</ref> :
\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}=\frac1z\,\prod_{k=1}^{+\infty}\frac{\left(1+1/k\right)^z}{1+z/k}
</math>.Elle est équivalente à celle donnée par Schlömilch<ref>Modèle:Article.</ref>,<ref>Modèle:Article (Modèle:P.).</ref>,<ref>Modèle:Citation : Modèle:Article (Modèle:P.).</ref> :
où <math>\gamma=\sum_{k=1}^\infty\left[\frac1k-\ln\left(1+\frac1k\right)\right]</math> est la constante d'Euler-Mascheroni.
Propriétés
Lien avec la factorielle
De Modèle:Math et [[Intégrale impropre#Calcul explicite|Modèle:Math]], on déduit :
- <math>\forall\,n \in\N, \; \Gamma(n+1)=n!</math>.
On interprète donc la fonction gamma comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des entiers négatifs ou nuls).
Une notation alternative est la fonction Modèle:Math, introduite par Gauss :
- <math>\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \; \Gamma(z)</math> (et donc <math>\Gamma(z) = \Pi(z-1) = \Pi(z)/z</math>),
de telle façon que :
- <math>\Pi(n) = n!</math>.
Caractérisations
Sur l'ensemble des réels
La fonction gamma est entièrement caractérisée sur <math>\R_+^*</math> par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup) :
- <math>\Gamma(1)=1\,</math>
- Pour tout <math> x>0\,</math>, on a : <math>\Gamma(x+1)=x \; \Gamma(x)\,</math>
- la fonction composée <math>\ln\circ\,\Gamma</math> est convexe sur <math>\R_+^*</math>
Sur le demi-plan complexe Re(z)>0
La fonction gamma est entièrement caractérisée parmi les fonctions holomorphes du demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt) :
- <math>\Gamma(1)=1\,</math>
- Pour tout z tel que Modèle:Math, <math>\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)\,</math>
- <math>|\Gamma(z)|\,</math> est bornée dans la bande 1 ≤ Re(z) ≤ 2.
Autres propriétés
Formule des compléments
La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments
que l'on démontre en remarquant d'abord que Modèle:Math est 2-périodique et a les mêmes pôles et résidus que <math>\tfrac\pi{\sin (\pi z)}</math>.
Formule de multiplication
La fonction gamma vérifie également la formule de duplication : <math>\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).</math>
La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :
\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).
</math>Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.
Résidus
La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :
Dérivées
La fonction gamma est infiniment dérivable sur <math>\R_+^*</math>(c’est-à-dire p fois dérivable pour tout entier p). Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma : <math>\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).\,</math>
Plus généralement, sa dérivée p-ième possède sur <math>\R_+^*</math> l'expression intégrale suivante :
Lien avec les sommes de Gauss
Modèle:... La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif (<math>x\mapsto x^s</math>).
Lien avec d'autres fonctions
La fonction gamma est reliée à la [[Fonction zêta de Riemann|fonction Modèle:Mvar de Riemann]] par :
- <math>\zeta(s)\,\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{s-1}}{\mathrm e^t-1}\,\mathrm dt</math>.
Elle est reliée à la fonction êta de Dirichlet par :
- <math>\Gamma(s)\,\eta(s)=\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{\mathrm e^x+1}\,\mathrm dx</math> =<ref>Modèle:Article.</ref><math>\int_0^1\int_0^1\frac{(-\ln(x y))^{s-2}}{1 + x y}\,\mathrm dx \,\mathrm dy</math>.
Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.
La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :
- <math>\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.</math>
Le logarithme de la fonction gamma est parfois appelé lngamma. Il intervient notamment dans la résolution des problèmes de propagation d’ondes<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> : l'équation fonctionnelle de la fonction lngamma est :
- <math>\ln \Gamma(z) = \ln \Gamma(z+1) - \ln(z)</math>.
Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.
Rocktaeschel (1922<ref>D'après Modèle:Ouvrage.</ref>, suivant une indication de Gauss) propose l'approximation pour Modèle:Math grand :
- <math> \ln \Gamma(z) \approx (z - \tfrac12) \ln z - z + \tfrac12\ln(2\pi)</math>.
On peut en déduire une approximation de Modèle:Math pour Modèle:Math plus petit, en utilisant<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
- <math> \ln\Gamma(z-m) = \ln\Gamma(z) - \sum_{k=1}^m\ln(z-k)</math>.
La dérivée logarithmique de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma.
Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss.
D'après l'expression d'Euler pour la fonction gamma Modèle:Supra, Modèle:Lien <math>g(z)=\frac 1{\Gamma(z)}</math> est une fonction entière.
Valeurs particulières
Cette section indique quelques Modèle:Lien et de ses dérivées.
La valeur de Modèle:Math est celle de l'intégrale de Gauss ; elle peut aussi se déduire de la formule des compléments. Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs :
- <math>\Gamma(3/2)=\frac{\sqrt\pi}2,\quad\Gamma(5/2)=\frac{3\sqrt\pi}4,\ldots,</math>
- <math>\Gamma \left(n+\frac12\right)= \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac12\right)=\left(n-\frac12\right)\left(n-\frac32\right)\cdots\frac32\, \frac12\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt{\pi}</math>
mais aussi négatifs, par exemple :
- <math>\Gamma(-1/2)=-2\sqrt\pi</math>.
En ce qui concerne ses dérivées, avec Modèle:Math la constante d'Euler-Mascheroni :
- <math>\Gamma'(n+1)=\Gamma(n+1)\psi_0(n+1)=n!\left(-\gamma+\sum_{1\le k\le n}\frac1k\right)</math> ;
- <math>\Gamma'\left(n+\frac12\right)=\Gamma\left(n+\frac12\right)\psi_0\left(n+\frac12\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt\pi\left(-\gamma-2\ln 2+\sum_{1\le k\le n}\frac2{2k-1}\right)</math> ;
- <math>\Gamma(1/2)=\sqrt\pi(\gamma+2\,\ln(2))^2+\frac{\pi^{5/2}}2,\quad\Gamma(1)=\gamma^2+\frac{\pi^2}6,\quad\Gamma(2)=(1-\gamma)^2+\frac{\pi^2}6-1</math>.
On connaît quelques résultats de transcendance et même d'indépendance algébrique sur les valeurs de Modèle:Math en certains points rationnels.
Une conjecture de Rohrlich<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> prédit que toute relation multiplicative de la forme
(où Modèle:Surligner désigne le corps des nombres algébriques) se déduit des trois relations standard :
Formule asymptotique de Stirling
De Modèle:Math et Modèle:Math
La formule de Stirling donne un équivalent au voisinage de l'infini de la factorielle :
avec Modèle:Mvar la fonction de Binet :
et Modèle:Mvar les nombres de Bernoulli. Sachant que Modèle:Math sur Modèle:Math, cet équivalent se généralise à la fonction gamma :
d’où :
En calculant les premiers termes de Modèle:Math grâce à la Modèle:Lien, on obtient le développement asymptotique :
De Modèle:Math
L’équivalent en Modèle:Math vaut :
avec :
d’où le développement asymptotique :
Cas général
De manière plus générale, pour Modèle:Math, l’équivalent en Modèle:Math vaut :
où Modèle:Math sont les polynômes de Bernoulli. Modèle:Démonstration{2k (2k-1) z^{2k-1}}\right)</math>. Les nombres de Bernoulli de rang impair supérieur ou égal à 3 étant nuls, on peut également écrire, par changement de variable Modèle:Math et en introduisant les termes (nuls) de rang impair :
- <math>\Gamma(z) = \sqrt{2 \pi} \, z^{z - \frac12} \exp\left(-z + \sum_{i=2}^\infty \frac{B_i}{i (i-1) z^{i-1}}\right)</math>,
d’où :
- <math>\Gamma(z+a) = \sqrt{2 \pi} \, (z+a)^{z + a - \frac12} \exp\left(-(z+a) + \sum_{i=2}^\infty \frac{B_i}{i (i-1) (z+a)^{i-1}}\right)</math>.
Modèle:Mvar étant non nul, on peut factoriser Modèle:Math en Modèle:Math :
- <math>\begin{align}\Gamma(z+a) & = \sqrt{2 \pi} \, z^{z + a - \frac12} \left(1 + \tfrac az\right)^{z + a - \frac12} \exp\left(-z - a + \sum_{i=2}^\infty \frac{B_i}{i (i-1) z^{i-1} (1 + \frac{a}{z})^{i-1}}\right) \\ & = \sqrt{2 \pi} \, z^{z + a - \frac12} \exp\left(-z + \left(z + a - \frac12\right) \ln\left(1 + \frac az\right) - a + \sum_{i=2}^\infty \frac{B_i}{i (i-1) z^{i-1}}\left(1 + \frac az\right)^{-(i-1)}\right).\end{align}</math>
Ayant posé Modèle:Math, on a Modèle:Math, ce qui permet de développer d’une part la série de Taylor du logarithme Modèle:Math (valable pour Modèle:Math) et d’autre part le binôme négatif Modèle:Math (valable pour Modèle:Math et Modèle:Math) :
- <math>\ln\left(1 + \tfrac az\right) = - \sum_{k=1}^\infty \frac{\left(-\frac az\right)^k}k= - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-a)^k}{k \, z^k} = - \sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^{k-1}}{(k-1) \, z^{k-1}}</math>,
- <math>\left(1 + \tfrac{a}{z}\right)^{-(i-1)} = \sum_{j=0}^\infty \binom{i+j-2}{j} \left(-\frac{a}{z}\right)^j = \sum_{j=0}^\infty \frac{(i+j-2)! \, (-a)^j}{(i-2)! \, j! \, z^j}.</math>
On a donc d’une part, par le développement du logarithme :
- <math>z \ln\left(1 + \tfrac az\right) = - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-a)^k}{k \, z^{k-1}} = a - \sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^k}{k \, z^{k-1}}</math>
et :
- <math>a \ln\left(1 + \tfrac az\right) = -a \sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^{k-1}}{(k-1) \, z^{k-1}} = \sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^k}{(k-1) \, z^{k-1}}</math>,
d’où :
- <math>\begin{align} \left(z + a - \tfrac12\right) \ln\left(1 + \tfrac az\right) - a & = a + \sum_{k=2}^\infty \left(\frac1{k-1} - \frac1k\right) \frac{(-a)^k}{z^{k-1}} + \frac12\sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^{k-1}}{(k-1) \, z^{k-1}} - a\\
&= \sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^k}{k \, (k-1) \, z^{k-1}} + \frac12\sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^{k-1}}{(k-1) \, z^{k-1}} \\ & = \sum_{k=2}^\infty \frac{(-a)^k + \frac k2\, (-a)^{k-1}}{k \, (k-1) \, z^{k-1}}.\end{align}</math>
On a d’autre part, par le développement du binôme négatif, puis en procédant au changement de variable Modèle:Math :
- <math>\frac{B_i}{i \, (i-1) \, z^{i-1}}\left(1 + \frac{a}{z}\right)^{-(i-1)} = \sum_{j=0}^\infty \frac{B_i \, (i+j-2)! \, (-a)^j}{i! \, j! \, z^{i-1+j}} = \sum_{k=i}^\infty \frac{B_i \, (k-2)! \, (-a)^{k-i}}{i! \, (k-i)! \, z^{k-1}} = \sum_{k=i}^\infty \binom ki\frac{B_i \, (-a)^{k-i}}{k \, (k-1) \, z^{k-1}} \ .</math>
Puisque <math>\tbinom ki=0</math> pour Modèle:Math, et Modèle:Math valant au moins Modèle:Math, on peut étendre la somme ci-dessus pour Modèle:Math allant de Modèle:Math (en deçà, on aurait la forme indéterminée 0/0) à Modèle:Math (somme de Modèle:Math termes, donc au pire une somme vide, valide, si Modèle:Math) :
- <math>\frac{B_i}{i \, (i-1) \, z^{i-1}}\left(1 + \frac{a}{z}\right)^{-(i-1)} = \sum_{k=2}^\infty \binom{k}{i} \frac{B_i \, (-a)^{k-i}}{k \, (k-1) \, z^{k-1}}</math>.
On rappelle que les polynômes de Bernoulli vérifient :
- <math>B_k(x) = \sum_{i=0}^k \binom kiB_i \, x^{k-i} = B_0 \, x^k + k \, B_1 \, x^{k-1} + \sum_{i=2}^k \binom kiB_i \, x^{k-i} = x^k - \frac k2\, x^{k-1} + \sum_{i=2}^k \binom kiB_i \, x^{k-i}</math>,
- <math>B_k(-x) = (-1)^k \left[B_k(x) + k \, x^{k-1}\right] = (-1)^k B_k(x) - k \, (-x)^{k-1}</math>,
d’où :
- <math>\begin{align} \sum_{i=2}^\infty \frac{B_i}{i \, (i-1) \, z^{i-1}}\left(1 + \frac az\right)^{-(i-1)} & = \sum_{k=2}^\infty \sum_{i=2}^\infty \binom ki\frac{B_i \, (-a)^{k-i}}{k \, (k-1) \, z^{k-1}} = \sum_{k=2}^\infty \frac{B_k(-a) - (-a)^k + \frac k2\, (-a)^{k-1}}{k \, (k-1) \, z^{k-1}} \\ & = \sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k B_k(a) - k \, (-a)^{k-1} - (-a)^k + \frac k2\, (-a)^{k-1}}{k \, (k-1) \, z^{k-1}}\\
&= \sum_{k=2}^\infty \frac{(-1)^k B_k(a) - (-a)^k - \frac k2\, (-a)^{k-1}}{k \, (k-1) \, z^{k-1}} \\ & = - \sum_{k=2}^\infty \frac{B_k(a)}{k \, (k-1) \, (-z)^{k-1}} - \left[\left(z + a - \tfrac12\right) \ln\left(1 + \tfrac az\right) - a\right].\end{align}</math>
Donc, pour Modèle:Math :
- <math>\Gamma(z + a) = \sqrt{2 \pi} \, z^{z + a - \frac12} \exp\left(-z - \sum_{k=2}^\infty \frac{B_k(a)}{k (k-1) (-z)^{k-1}}\right)</math>.
}}
En posant Modèle:Math valant respectivement Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, et connaissant les valeurs particulières des polynômes de Bernoulli en ces points, on retrouve immédiatement les équivalents en Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math mentionnés plus hauts.
Histoire
La première occurrence d'un produit qui donnera naissance ultérieurement à la fonction gamma est due à Daniel Bernoulli<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> dans une lettre à Christian Goldbach.
Fichier:DanielBernoulliLettreAGoldbach-1729-10-06.jpg
En notation moderne<ref>Modèle:Article.</ref>
- <math>x! = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(n+1+\frac x2\right)^{x-1} \prod_{i=1}^n\frac{i+1}{i+x} </math>.
En 1729 également, Euler entreprend l'étude de ce produit et lui donne sa forme intégrale<ref name=AMM114>Modèle:Article</ref>,<ref>Modèle:Lien web</ref>.
C'est Legendre qui, en 1811, note cette fonction <math>\Gamma</math>, en apportant de nombreux compléments à son étude<ref name=AMM114/>,<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
L'article de Borwein et Corless<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Jonathan M. Borwein et Robert M. Corless, Gamma and Factorial in the Monthly, 17 mars 2017 Modèle:Arxiv2</ref> passe en revue trois siècles de travaux mathématiques sur la fonction gamma.
Notes et références
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
- N. Bourbaki, Modèle:Ouvrage
- Modèle:OuvrageModèle:Commentaire biblio
- Modèle:Dieudonné2Modèle:Commentaire biblio
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Ouvrage
- Modèle:Article
- Modèle:Ouvrage
