Intégration par parties
En mathématiques, l'intégration par parties (parfois abrégée en IPP) est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales. Elle est fréquemment utilisée pour calculer une intégrale (ou une primitive) d'un produit de fonctions. Cette formule peut être considérée comme une version intégrale de la règle du produit.
Le mathématicien Brook Taylor a découvert l'intégration par parties, publiant d'abord l'idée en 1715. Des formulations plus générales d'intégration par parties existent pour l'intégrale de Riemann-Stieltjes et pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes. L'analogue discret pour les suites est appelé sommation par parties.
Énoncé type
La formule-type est la suivante, où <math>u</math> et <math>v</math> sont deux fonctions dérivables, de dérivées continues et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux réels de leur intervalle de définition :
- <math display="block">\begin{align}
\int_a^b u(x) v'(x) \, dx
& = \Big[u(x) v(x)\Big]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx\\
& = u(b) v(b) - u(a) v(a) - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx.
\end{align}</math>.
ou encore, puisque <math>u'(x)\,\mathrm dx</math> et <math>v'(x)\,\mathrm dx</math> sont respectivement les différentielles de <math>u</math> et de <math>v</math> :
- <math>\int_a^b u\,\mathrm dv=[uv]_a^b-\int_a^b v\,\mathrm du</math>.
Choix des fonctions du produit
L'un des deux choix possibles pour les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math peut s'avérer meilleur que l'autre.
- <math>I=\int_1^2x\ln x\,\mathrm dx </math>.
Si l'on choisit Modèle:Math et Modèle:Math, on a Modèle:Math et l'on peut prendre Modèle:Math, d'où :
- <math> I=\int_1^2x\ln x\,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^2 - \frac12 \int_1^2x\,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}2\ln x\right]_1^2 - \frac12\left[\frac{x^2}2\right]_1^2</math>.
En revanche, si l'on choisit Modèle:Math et Modèle:Math, on a Modèle:Math et l'on peut prendre Modèle:Math, d'où :
- <math>I= \int_1^2x\ln x\,\mathrm dx = \left[x(x\ln x- x)\right]_1^2 - \int_1^2(x\ln x- x)\,\mathrm dx</math>.
On constate immédiatement que cette intégrale est plus compliquée que l'intégrale initiale, elle s'y ramène cependant puisque <math>\int_1^2(x\ln x- x)\,\mathrm dx = I-3/2</math>.
Exemples
- Effectuons le calcul de
<math>\int_0^{\frac\pi3} x\cos x\,\mathrm dx</math> grâce à une intégration par parties.
Pour cela, posons Modèle:Math, de telle sorte que Modèle:Math, et Modèle:Math, de telle sorte que Modèle:Math, par exemple (Modèle:C.-à-d. à une constante additive près, qui de toutes façons disparaîtrait au cours des calculs intermédiaires). Il vient :- <math>\begin{align}\int_0^{\frac\pi3}x\cos x\,\mathrm dx
&= \left[u(x)v(x)\right]_0^{\frac{\pi}3} - \int_0^{\frac{\pi}3}u'(x)v(x)\,\mathrm dx\\ &=\left[x\sin x\right]_0^{\frac\pi3} - \int_0^{\frac\pi3}\sin(x)\,\mathrm dx\\ &=\frac{\pi\sqrt3}6 + \left[\cos x\right]_0^{\frac{\pi}3}\\ &=\frac{\pi\sqrt3}6 - \frac12.\end{align}</math>
- Il s'agit de la méthode classique<ref name=Wikiversité/> pour trouver une primitive du logarithme naturel :
<math>\int_{\mathrm e}^x\ln t\,\mathrm dt=x\ln x-x</math>. - Une intégration par parties sur une intégrale impropre permet d'établir l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
- Une double intégration par parties (l'intégrale obtenue par l'application de la formule se calcule elle aussi par une nouvelle intégration par parties) permet par exemple de montrer<ref name=Wikiversité>Voir les exemples de la leçon « Intégration par parties » sur Wikiversité.</ref> que
<math>\int\mathrm e^x\sin x\,\mathrm dx=\frac{\mathrm e^x\left(\sin x-\cos x\right)}2+C</math> et de même,<math>\int\mathrm e^x\cos x\,\mathrm dx=\frac{\mathrm e^x\left(\sin x+\cos x\right)}2+C</math>, où le réel Modèle:Mvar est une constante d'intégration.
Présentation sous forme de tableau
Cette méthode également nommée «DI method» en anglais consiste à tracer un tableau avec trois colonnes, une colonne de signes + et - alternés, une colonne D et une colonne I, avec dans la colonne D des dérivations successives et dans la colonne I des intégrations successives. Cette méthode se base sur l'intégration par parties, et est surtout utile lorsqu'il s'agit de réaliser des intégrations par parties successives. Elle est présentée dans le livre<ref>Thomas, G. B.; Finney, R. L. (1988). Calculus and Analytic Geometry (7th ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. Modèle:ISBN.</ref> de Thomas et Finney, ainsi que dans un papier librement accessible<ref>Horowitz, David (1990). https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/Horowitz307-311.pdf (PDF). The College Mathematics Journal. 21 (4): 307–311. doi:10.2307/2686368</ref>. Cette méthode est censée réduire les erreurs et réduire les étapes de calcul. Il y a 3 critères d'arrêts : soit une ligne du tableau comporte un 0, soit une ligne du tableau est identique à la première ligne (à des facteurs numériques près), soit le produit d'une ligne du tableau est facilement intégrable<ref>Cette méthode est illustrée en vidéo sur la chaîne YouTube nommée blackpenredpen : Integration by parts, DI method, VERY EASY et une présentation plus détaillée se trouve sur la version anglophone de Wikipédia :en:Integration by parts#Tabular integration by parts </ref>.
Les produits s'effectuent suivant une diagonale. Ainsi, pour intégrer <math> x \mapsto x^3 \cos x</math>, on peut construire le tableau suivant:
| Étapes | +/- | Dérivées (D) | Primitives (I) | Produits | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | <math>x^3</math> | <math>\cos x</math> | |||
| 1 | − | <math>3x^2</math> | <math>\sin x</math> | <math> x^3\sin(x)</math> | |
| 2 | + | <math>6x</math> | <math>-\cos x</math> | <math> + 3x^2\cos(x)</math> | |
| 3 | − | <math>6</math> | <math>-\sin x</math> | <math> - 6x\sin(x)</math> | |
| 4 | + | <math>0</math> | <math>\cos x</math> | <math> - 6\cos(x)</math> |
<math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)- 6x\sin(x) - 6\cos(x) + C </math> Modèle:Boîte déroulante/début Le calcul se fait à l'aide de 4 intégrations par parties (la dernière étant d'ailleurs dispensable)
- <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + \int -3x^2 \sin(x) \,\mathrm dx</math>
- <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)+ \int -6x \cos(x) \,\mathrm dx</math>
- <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)- 6x\sin(x) + \int 6 \sin(x) \,\mathrm dx</math>
- <math>\int x^3 \cos x \,\mathrm dx = x^3\sin(x) + 3x^2\cos(x)- 6x\sin(x) - 6\cos(x) + \int 0 \,\mathrm dx</math>Modèle:Boîte déroulante/fin
Un même type de tableau peut s'utiliser pour une intégration par parties qui boucle :
| Étapes | +/- | Dérivées | Primitives | Produits | |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | <math>\mathrm e^{2x}</math> | <math>\cos x</math> | |||
| 1 | − | <math>\mathrm 2e^{2x}</math> | <math>\sin x</math> | <math> \mathrm e^{2x}\sin(x)</math> | |
| 2 | + | <math>\mathrm 4e^{2x}</math> | <math>-\cos x</math> | <math> +\mathrm 2e^{2x}\cos(x)</math> (ça boucle) |
- <math>\int \mathrm e^{2x} \cos x \,\mathrm dx = \mathrm e^{2x}\sin(x) + \mathrm 2e^{2x}\cos(x)+ \int -\mathrm 4e^{2x} \cos(x) \,\mathrm dx</math>
- <math>5\int \mathrm e^{2x} \cos x \,\mathrm dx = \mathrm e^{2x}\sin(x) + \mathrm 2e^{2x}\cos(x)+ C</math>
Généralisations
- On peut étendre ce théorème aux fonctions continues et de classe C1 par morceaux sur le segment d'intégration (mais la continuité est indispensable).
- Plus généralement, si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont Modèle:Mvar fois différentiables et si leurs dérivées Modèle:Mvar-ièmes sont réglées, on dispose de la Modèle:Citation<ref>Modèle:Ouvrage, chap. II, § 1, Modèle:N°.</ref> :
- <math>\int_a^bu(x)v^{(n)}(x)\,\mathrm dx = \left[ \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ku^{(k)}v^{(n-k-1)}\right]_a^b + (-1)^n\int_a^bu^{(n)}(x)v(x) \,\mathrm dx</math>.
- Si, sur Modèle:Math, Modèle:Mvar est absolument continue et Modèle:Mvar est intégrable, alors
- <math>\int_a^bug=[uv]_a^b-\int_a^bu'v</math>,
- pour toute fonction Modèle:Mvar telle que
- <math>\forall x\in[a,b]\quad v(x)=v(a)+\int_a^xg</math>.
- La démonstration<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> est essentiellement la même que ci-dessus, avec des dérivées définies seulement presque partout et en utilisant l'absolue continuité de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.
Formules d'intégrations par parties à plusieurs variables
L'intégration par parties peut être étendue aux fonctions de plusieurs variables en appliquant une version appropriée du théorème fondamentale de l'analyse (par exemple une conséquence du théorème de Stokes comme le théorème du gradient ou le théorème de la divergence) à une opération généralisant la règle de dérivation d'un produit.
Il existe donc de nombreuses versions d'intégrations par parties concernant les fonctions à plusieurs variables, pouvant faire intervenir des fonctions à valeurs scalaires ou bien des fonctions à valeurs vectorielles.
Certaines de ces intégrations par parties sont appelées identités de Green.
Un exemple faisant intervenir la divergence
Par exemple, si u est à valeurs scalaires et V à valeurs vectorielles et toutes deux sont régulières, on a la règle de la divergence d'un produit
- <math>\operatorname{div} ( u \,\mathbf{V} ) = u\, \operatorname{div} \mathbf V + \operatorname{grad} u \cdot \mathbf V.</math>
Soit Ω un ouvert de ℝd qui est borné et dont la frontière Γ = ∂Ω est lisse par morceaux. Appliquer le théorème de la divergence donne:
- <math>\int_{\Gamma} u \,\mathbf{V}\cdot \mathbf n \,\mathrm d\Gamma = \int_\Omega \operatorname{div} ( u \,\mathbf{V} )\,\mathrm d\Omega = \int_\Omega u\, \operatorname{div} \mathbf V\,\mathrm d\Omega + \int_\Omega \operatorname{grad} u \cdot \mathbf V\,\mathrm d\Omega</math>,
où n est la normale sortante unitaire à Γ. On a donc
- <math>\int_\Omega u\,\operatorname{div}(\mathbf V)\,\mathrm d\Omega = \int_{\Gamma} u\, \mathbf V \cdot \mathbf n\,\mathrm d\Gamma - \int_\Omega \operatorname{grad}(u)\cdot\mathbf V\,\mathrm d\Omega</math>.
On peut donner des hypothèses plus faibles: la frontière peut être seulement lipschitzienne et les fonctions u et V appartenir aux espaces de Sobolev H1(Ω) et H1(Ω)d.
Première identité de Green
Soit (e1,....,ed) la base canonique de ℝd. En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ui et v ei où u et v sont des fonctions scalaires régulières, on obtient une nouvelle formule d'intégration par parties
- <math>\int_\Omega u\,\frac{\partial v}{\partial x_i}\,\mathrm d\Omega = \int_{\Gamma} u\, v \,n_i\,\mathrm d\Gamma - \int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i}\, v\,\mathrm d\Omega</math>,
où n = (n1,....,nd).
Considérons maintenant un champ de vecteurs régulier
- <math>\mathbf U = u_1\mathbf e_1+\cdots+u_n\mathbf e_n</math>
En appliquant la formule d'intégration par parties ci-dessus à ui et v ei et en sommant sur i, on obtient encore une nouvelle formule d'intégration par parties
- <math> \int_\Omega \mathbf U \cdot \operatorname{grad} v\,\mathrm d\Omega = \int_{\Gamma} v \, \mathbf{U}\cdot \mathbf n\,\mathrm d\Gamma - \int_\Omega v\, \operatorname{div}\mathbf{U}\,\mathrm d\Omega</math>.
La formule correspondante au cas où U dérive d'un potentiel u régulier:
- <math>\mathbf{U}=\operatorname{grad} u</math>,
est appelée première identité de Green :
- <math> \int_\Omega \operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v\,\mathrm d\Omega = \int_{\Gamma} v\, \operatorname{grad} u\cdot \mathbf n\,\mathrm d\Gamma - \int_\Omega v\, \Delta u\,\mathrm d\Omega</math>.
