Coefficient binomial
En mathématiques, les coefficients binomiaux, ou coefficients du binôme, définis pour tout entier naturel Modèle:Mvar et tout entier naturel Modèle:Mvar inférieur ou égal à Modèle:Mvar, donnent le nombre de parties à Modèle:Mvar éléments d'un ensemble à Modèle:Mvar éléments. On les note<ref>Les deux notations sont préconisées par la norme ISO/CEI 80000-2:2009 : la première est celle du « coefficient binomial » (2-10.4) et la seconde celle du « nombre de combinaisons sans répétition » (2-10.6). ISO 80000-2:2009, Grandeurs et unités — Partie 2: Mathématiques, Première édition du 1er décembre 2009, chapitre 10 : Combinatoire</ref> <math>\textstyle{n \choose k}</math> - qui se lit « Modèle:Mvar parmi Modèle:Mvar » - ou <math>\textstyle{C_n^k}</math>, la lettre C étant l'initiale du mot « combinaison »
Les coefficients binomiaux s'expriment à l'aide de la fonction factorielle :
- <math>{n \choose k} = C_n^k\, = \frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
Ils interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques : développement du binôme en algèbre, dénombrements, développement en série, lois de probabilités, etc. On peut les généraliser, sous certaines conditions, aux nombres complexes.
Lecture et expressions dans divers langages informatiques
Le coefficient binomial <math>\textstyle{n \choose k}</math> se lit « Modèle:Mvar parmi Modèle:Mvar » en français, mais « Modèle:Mvar choose Modèle:Mvar » en anglais. Cette inversion de l'ordre de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar se retrouve dans les langages informatiques ; par exemple, <math>\textstyle{n \choose k}</math> se note :
binom(n,k)oucomb(n,k)dans les modules math ou scipy de Python<ref>Modèle:Lien web</ref>binomial(n,k)en Maple<ref>Modèle:Lien web</ref>Binomial[n,k]en Mathematica<ref>Modèle:Lien web</ref>\binom{n}{k}oun /choose ken LaTex
Établissement de la formule
L'expression <math>\textstyle {n\choose k}</math> du nombre de parties à Modèle:Mvar éléments, c'est-à-dire du nombre de [[Combinaison (mathématiques)|Modèle:Mvar-combinaisons]] dans un ensemble à Modèle:Mvar éléments, se détermine en calculant de deux façons différentes le nombre de [[arrangement|Modèle:Mvar-arrangements]] dans cet ensemble, à savoir
- <math>A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}={n \choose k}k!</math>
La confrontation des deux calculs donne l'expression algébrique de <math>\textstyle {n \choose k}</math>, pour Modèle:Mvar variant de 0 à Modèle:Mvar<ref>Modèle:Note autre projet</ref> :
- <math>C_n^k={n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\qquad \mbox{(1)}</math>
en particulier, <math>\textstyle {n \choose 0}=\frac{n!}{1\times n!}=1</math> (dans un ensemble à Modèle:Mvar éléments, il y a exactement une partie à 0 élément : l'ensemble vide) et de même, <math>\textstyle {n \choose n}=\frac{n!}{n!\times1}=1</math>.
Si Modèle:Mvar est strictement négatif ou strictement supérieur à Modèle:Mvar, le coefficient binomial est nul.
Exemple : Dans un ensemble à 4 éléments {a,b,c,d}, il y a <math>\textstyle {4 \choose 2} = 6</math> parties à deux éléments, à savoir : {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}.
Définition récursive des coefficients binomiaux Modèle:Ancre
Une importante relation, la formule de Pascal, lie les coefficients binomiaux : pour tout couple Modèle:Math d'entiers naturels<ref>Y compris pour <math>k\ge n</math> car <math>\textstyle \forall j>n\quad{n\choose j}=0</math>. Modèle:Cf. par exemple Modèle:Ouvrage.</ref>,
- <math> {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \qquad \mbox{(2)}</math>
On la démontre classiquement par un raisonnement combinatoire élémentaire<ref>Modèle:Note autre projet</ref>, mais on peut aussi utiliser la forme factorielle<ref>Voir par exemple Modèle:Harvsp, ou Modèle:Note autre projet</ref>.
Elle est à la base de la construction du triangle de Pascal qui permet un calcul rapide des coefficients pour de petites valeurs de Modèle:Mvar :
0 : 1 1 : 1 1 2 : 1 2 1 3 : 1 3 3 1 4 : 1 4 6 4 1 5 : 1 5 10 10 5 1 6 : 1 6 15 20 15 6 1 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1 8 : 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Les coefficients <math>\textstyle {n\choose k}</math> pour 0 ≤ Modèle:Mvar ≤ Modèle:Mvar figurent à la ligne d'indice Modèle:Mvar. Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Modèle:Mvar se lit de gauche à droite sur la ligne d'indice Modèle:Mvar en partant de 0 jusqu'à Modèle:Mvar.
Utilisation des coefficients binomiaux
Développement du binôme de Newton
Modèle:Article détaillé Ces nombres sont les coefficients qui apparaissent en développant la puissance Modèle:Mvar-ième de Modèle:Math :
- <math> (x+y)^n = \sum_{k=0}^n{n \choose k} x^{n-k} y^k \qquad (3) </math>
Par exemple, en regardant la cinquième ligne du triangle de Pascal, on obtient immédiatement que :
- <math>\ (x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5\,</math> .
Dérivée d'ordre n d'un produit de fonctions
Si Modèle:Mvar est un entier supérieur ou égal à 1, et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux fonctions Modèle:Mvar fois dérivables en un point Modèle:Mvar, alors leur produit Modèle:Mvar est aussi Modèle:Mvar fois dérivable au point Modèle:Mvar, et la dérivée d'ordre Modèle:Mvar est donnée par la formule de Leibniz :
Par exemple, <math>(fg) = fg + 3fg' + 3f'g + gf.</math>
Combinatoire et statistique
Modèle:Article détaillé Les coefficients binomiaux sont importants en combinatoire, parce qu'ils fournissent des formules utilisées dans des problèmes fréquents de dénombrement :
- Le nombre de parties à Modèle:Mvar éléments dans un ensemble à Modèle:Mvar éléments est égal à <math>\textstyle{n \choose k}</math>. C'est également le nombre de listes de longueur Modèle:Mvar, constituées de 1 et de 0, et ayant Modèle:Mvar fois l'élément 1 et Modèle:Mvar l'élément 0. Ces parties ou ces listes sont appelées des [[Combinaison (mathématiques)|Modèle:Mvar-combinaisons]] sans répétition.
- Le nombre de suites de Modèle:Mvar entiers naturels dont la somme vaut Modèle:Mvar est égale à <math>\textstyle{n+k-1 \choose k}</math>. C'est aussi le nombre de façons de choisir Modèle:Mvar éléments d'un ensemble à Modèle:Mvar éléments si les répétitions sont permises (nombre de combinaisons avec répétition).
- En théorie des probabilités et en statistique, les coefficients binomiaux apparaissent dans la définition de la loi binomiale.
- Ils interviennent dans la définition des polynômes de Bernstein et dans l'équation paramétrique d'une courbe de Bézier.
- D'un point de vue plus intuitif, ce nombre permet de savoir combien de tirages de Modèle:Mvar éléments parmi n différents on peut réaliser. Exemple : les quatre as d'un jeu de cartes sont face contre table, on veut savoir combien de possibilités de jeu il existe si l'on prend simultanément deux cartes au hasard. Si l'on suit la formule il y en a six.
- Pour s'en persuader, voici la liste des mains :
- as de cœur et as de carreau
- as de cœur et as de trèfle
- as de cœur et as de pique
- as de carreau et as de trèfle
- as de carreau et as de pique
- as de trèfle et as de pique
- Il n'existe pas d'autres possibilités vu que l'ordre n'importe pas (« carreau - pique » est équivalent à « pique - carreau »).
Propriétés arithmétiques des coefficients binomiaux
Divisibilité
- Un entier Modèle:Math est premier si et seulement si tous les <math>\textstyle{n \choose k}</math> pour Modèle:Math sont divisibles par Modèle:Mvar.
- Les diviseurs premiers de <math>\textstyle{n \choose k}</math> possèdent la propriété suivante (théorème de Kummer (coefficients binomiaux)) :
Si Modèle:Mvar est un nombre premier et Modèle:Mvar est la plus grande puissance de Modèle:Mvar qui divise <math>\textstyle{n \choose k}</math>, alors Modèle:Mvar est égal au nombre d'entiers naturels Modèle:Mvar tels que la partie fractionnaire de Modèle:Mvar soit plus grande que la partie fractionnaire de Modèle:Mvar. C'est le nombre de retenues dans l'addition de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, lorsque ces deux nombres sont écrits en base Modèle:Mvar<ref>Modèle:Article.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage, § 1.2.6, ex. 11.</ref>.
En particulier, <math>\textstyle{n \choose k}</math> est toujours divisible par <math>\textstyle \frac n{\mathrm{pgcd}\,(n,k)}</math> (pgcd signifie plus grand commun diviseur).
La règle permet de déterminer les <math>\textstyle{n \choose k}</math> qui sont pairs. Il suffit pour cela de prendre Modèle:Math et Modèle:Math. La soustraction de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar nécessite donc au moins une retenue en binaire. Cela signifie que, dans le développement binaire de Modèle:Mvar, il se trouve au moins un 0 situé au même rang qu'un 1 dans le développement binaire de Modèle:Mvar.
À l'inverse, <math>\textstyle{n \choose k}</math> est impair si, à chaque fois que Modèle:Mvar possède un 1 dans son développement binaire, il en est de même de Modèle:Mvar au même rang. On dit que Modèle:Mvar implique Modèle:Mvar. Par exemple, si Modèle:Mvar est de la forme Modèle:Math, tous ses chiffres binaires valent 1, et tous les <math>\textstyle{n \choose k}</math> seront impairs. Si Modèle:Math, alors Modèle:Mvar possède un seul 1 dans son développement binaire, et seuls <math>\textstyle{n \choose 0}</math> et <math>\textstyle{n \choose n}</math> sont impairs, tous les autres sont pairs.
Coefficients binomiaux égaux à des puissances
On a <math>\binom{50}2=35^2,\binom{50}3=140^2</math> , mais pour <math>4 \leqslant k \leqslant n-4</math> , Erdős a démontré en 1951 que le coefficient binomial <math>\binom nk</math> n'est ni un carré, ni aucune puissance d'ordre supérieure <ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
Généralisations
Élargissement du domaine de définition
Jusqu'à présent le coefficient binomial <math display=inline>{n \choose k}</math> était défini pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar entiers naturels avec Modèle:Mvar ≤ Modèle:Mvar. Il existe plusieurs manières d'étendre le domaine de définition (ces différentes extensions de la définition étant compatibles les unes avec les autres).
- Tout d'abord, l'interprétation combinatoire des coefficients binomiaux amène à poser <math display=inline>{n \choose k} =0</math> pour Modèle:Math. En effet, il n'existe pas de sous-ensembles à Modèle:Mvar éléments d'un ensemble à Modèle:Mvar éléments si Modèle:Math.
- Pour tout entier naturel Modèle:Mvar et tout entier naturel Modèle:Mvar compris entre 0 et Modèle:Mvar, le coefficient binomial <math display=inline>{n \choose k}</math> satisfait la formule <math display=inline>{n \choose k} = \frac{1}{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(n-i)</math>. Le terme de droite dans cette égalité a toujours un sens lorsque Modèle:Mvar est un entier relatif et même un nombre réel ou complexe et lorsque Modèle:Mvar est un entier naturel quelconque. Si l'on utilise le symbole de Pochhammer <math>(\cdot)_k</math> pour les factorielles descendantes, alors pour tout nombre réel ou complexe Modèle:Mvar et entier naturel Modèle:Mvar on peut définir le coefficient binomial <math display=inline>{z \choose k}</math> par la formule :
<math>{z \choose k} = \frac{1}{k!} \prod_{i=0}^{k-1}(z-i) = \frac{z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}=\frac{(z)_k}{k!}</math>. C'est cette définition des coefficients binomiaux qui est utilisée dans la formule du binôme négatif, dans la formule du binôme généralisée ainsi que dans la définition de la loi binomiale négative (généralisée à un premier paramètre réel).
- Il existe une autre manière de définir <math display=inline>{n \choose k}</math> pour Modèle:Mvar entier naturel et Modèle:Mvar entier relatif par la formule :
<math>{n \choose k} ={-n+k-1\choose k}(-1)^k</math> qui ramène au cas initial lorsque Modèle:Mvar est négatif.
- Il est possible de poser <math display=inline>{n \choose k}=0</math> lorsque Modèle:Mvar est un entier négatif. L'avantage de cette convention est qu'elle conserve la plupart des formules établies jusqu'ici vraies.
- La définition de <math display=inline>{n \choose k}</math> peut se généraliser, à l'aide de la fonction gamma Modèle:Math. Pour tout entier naturel Modèle:Mvar, Modèle:Math, ainsi, pour tout entier naturel Modèle:Mvar et pour tout entier naturel Modèle:Mvar ≤ Modèle:Mvar on a :
<math> {n \choose k} = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}</math>. Comme la fonction Modèle:Math est définie pour tout complexe qui n'est pas un entier négatif ou nul, on peut généraliser le coefficient binomial à tous complexes Modèle:Mvar et Modèle:Mvar qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls et tels que Modèle:Mvar ne soit pas un entier négatif ou nul, par la formule :<math> {z \choose w} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(w+1)\Gamma(z-w+1)}</math>. Cette formule peut d'ailleurs s'écrire plus simplement à l'aide de la fonction bêta Modèle:Mvar :<math> {z \choose w} = \frac1{(z+1)\Beta(w+1,z-w+1)}</math>. - Enfin, il est possible d'unifier toutes les définitions précédentes avec la fonction gamma, en résolvant le problème de pôles de cette fonction par un passage à la limite :
<math> {z \choose w} =\lim_{u\to z}\lim_{v \to w} \frac{\Gamma(u+1)}{\Gamma(v+1)\Gamma(u-v+1)}</math>. Dans cette dernière formule, l'ordre des limites est important<ref>Modèle:Lien web.</ref>. Cette définition donne une valeur infinie au coefficient binomial dans le cas où Modèle:Mvar est un entier négatif non nul et Modèle:Mvar n'est pas un entier strictement négatif.
| Généralisation | Domaine de définition | Définition | Notations et remarques |
|---|---|---|---|
| <math>\binom nk</math> | <math>n \in \mathbb{N}</math>
<math>k\in \{0,1,\dots,n\}</math> |
<math>\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> | <math>n! = 1\times 2 \times \dots \times n</math>
<math>0! =1</math> |
| <math>\binom nk</math> | <math>n \in \mathbb{N}</math>
<math>k\in \mathbb{N}</math> |
<math>\left\{\begin{array}{cl}
\frac{n!}{k!(n-k)!} & \text{ si } k \leq n \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.</math> |
|
| <math>\binom zk</math> | <math>z \in \mathbb{C}</math>
<math>k\in \mathbb{N}</math> |
<math>\frac{(z)_k}{k!}</math> | <math>(z)_k = z(z-1)\dots(z-k+1)</math>
<math>(z)_0 = 1</math> |
| <math>\binom zk</math> | <math>z \in \mathbb{C}</math>
<math>k\in \mathbb{Z}</math> |
<math>\left\{\begin{array}{cl}
\frac{(z)_k}{k!} & \text{ si } k \geq 0 \\ 0 & \text{ sinon} \end{array}\right.</math> |
|
| <math>\binom zw</math> | <math>z \in \mathbb{C}\setminus(-\mathbb{N})^*</math>
<math>w\in \mathbb{C} \setminus (-\mathbb{N})^*</math> <math>z - w \notin (-\mathbb{N})^*</math> |
<math> \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(w+1)\Gamma(z-w+1)}</math> | <math> \Gamma</math> désigne la fonction gamma.
<math> (-\mathbb{N})^* = \{-1,-2,-3,\dots\}</math> |
| <math>\binom zw</math> | <math>z \in \mathbb{C}</math>
<math>w\in \mathbb{C}</math> |
<math> \lim_{u\to z}\lim_{v \to w} \frac{\Gamma(u+1)}{\Gamma(v+1)\Gamma(u-v+1)}</math> | <math>\binom zw = \infty \text{ si } z\in (-\mathbb{N})^* \text{ et } w \notin (-\mathbb{N})^*</math>
<math>\binom zw = 0 \text{ si } z,w\notin (-\mathbb{N})^* \text{ et } z-w \in (-\mathbb{N})^*</math> |
Coefficients multinomiaux
Modèle:Article détaillé Une autre généralisation importante des coefficients binomiaux part de la formule du multinôme de Newton, laquelle permet de définir les coefficients multinomiaux.
Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux
On suppose que Modèle:Math sont des entiers ; Modèle:Math des complexes.
On rappelle que :
- <math> {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1} \qquad \mbox{(2)}</math> (formule de Pascal)
- <math> (x+y)^n = \sum_k{n \choose k} x^{n-k} y^k \qquad (3) </math> (formule du binôme de Newton)
Les formules suivantes peuvent être utiles :
- <math>{n \choose k} = {n \choose n-k} \qquad (4) </math>
- <math>{n \choose k} = \frac nk{n-1 \choose k-1} \qquad(k>0)</math> et plus généralement <math>{z \choose k} = \frac{z}{k}{z-1 \choose k-1}\qquad (5)</math> (formule parfois dite « du pion »<ref>Modèle:Lien web</ref>).
En remplaçant dans (3) Modèle:Math, on obtient
- <math> \sum_k{n \choose k} = 2^n \qquad (6) </math> ;
De nombreuses formules analogues peuvent être obtenues ainsi ; par exemple, avec Modèle:Math et Modèle:Math, on obtient
- <math> \sum_k(-1)^k{n \choose k} = 0</math> si Modèle:Math ;
avec Modèle:Math et Modèle:Math (donc Modèle:Math), on obtient
- <math> \sum_k(-1)^k{n \choose 2k} = \operatorname{Re}((1+\mathrm i)^n)=2^{n/2}\cos (n\pi/4)</math>.
Dans l'identité (3), en remplaçant Modèle:Mvar par 1 et en prenant la dérivée en 1 par rapport à Modèle:Mvar, il vient
- <math> \sum_kk {n \choose k} = n 2^{n-1} \qquad (7) </math>
En développant Modèle:Math avec (3), on obtient l'identité de Vandermonde :
- <math> \sum_j{n\choose j} {m\choose r-j} = {n+m\choose r}</math> et plus généralement <math> \sum_j{z \choose j} {z' \choose r-j} = {z+z' \choose r} \qquad (8) </math>
À partir du développement (8), en remplaçant Modèle:Mvar et Modèle:Mvar par Modèle:Mvar et en utilisant (4), on obtient
- <math> \sum_j{n \choose j}^2 = {2n \choose n} \qquad (9)</math>.
En développant Modèle:Math et en observant le coefficient devant Modèle:Math, on obtient
- <math> \sum_k(-1)^k{2n \choose k}^2 = (-1)^n {2n \choose n} \qquad (10)</math> .
On a
- <math> \sum_k{n-k \choose k} = F_{n+1} \qquad (11) </math>,
où Modèle:Math désigne le (Modèle:Math)-ième terme de la suite de Fibonacci<ref>Cf. Propriété 12 de la suite de Fibonacci.</ref>.
Pour tous entiers naturels Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Math,
- <math>\sum_j\binom jn\binom{r-j}m=\binom{r+1}{m+n+1}\qquad (12)</math>
Cet analogue de l'identité de Vandermonde (8) peut se démontrer de la même façon, à partir de la formule du binôme négatif<ref>Modèle:Note autre projet</ref>. Un cas particulier est (pour tous entiers Modèle:Math)<ref>Voir en:Hockey-stick identity.</ref> :
- <math>\sum_{j\le r}\binom jn=\binom{r+1}{n+1}</math>.
Encadrement et approximations
L'encadrement suivant fait intervenir le nombre de Neper et est valable pour toute valeur de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar<ref name=":0" /> :
- <math>
\forall \, 1 \leqslant k \leqslant n, \left( \frac{n}{k} \right)^k \leqslant \binom nk < \mathrm{e}^k \left( \frac{n}{k} \right)^k </math>
L'écart entre les deux bornes croit exponentiellement, c'est pourquoi il peut être préférable d'utiliser un équivalent asymptotique lorsque l'on connait le comportement de Modèle:Mvar par rapport à celui de Modèle:Mvar. Grâce à la formule de Stirling, lorsque Modèle:Mvar et Modèle:Mvar tendent vers l'infini on a :
<math> \binom nk\sim\sqrt {\frac{n}{2\pi k(n-k)}} \cdot \frac{n^n}{k^k (n-k)^{n-k}} </math>.
Mais pour être plus précis, il faut particulariser à différents régimes asymptotiques<ref name=":0">Modèle:Lien web</ref>,<ref name=":1">Modèle:Article.</ref>. Dans les cas ci-dessous, <math> h(\alpha)=-\alpha \log_2 \alpha - (1-\alpha) \log_2 (1-\alpha) </math> est la Modèle:Lien.
- cas 1 : si <math>
n \rightarrow \infty </math>, <math> k > 1 </math> et <math> k = \mathcal O(1) </math> alors <math> \binom nk = \frac{n^{k} \prod_{j=0}^{k}(1-\frac{j}{n})}{k!} = \frac{n^k}{k!} \left( 1-\frac{k(k-1)}{2n}+\mathcal O\left(\frac{1}{n^2} \right) \right)
</math> ;
- cas 2 : si <math>
k \rightarrow \infty </math> et <math> k = \mathcal o(n) </math> alors <math> \binom nk\sim\frac{2^{n h\left(\frac{k}{n}\right)}}{\sqrt {2\pi k}} </math><ref name=":0" /> ;
- cas 3 : si <math>
n \rightarrow \infty </math> et <math> k/n \to\alpha \in\left]0,1\right[ </math> alors <math> \binom nk\sim\frac{2^{n h(\alpha)}}{\sqrt {2\pi \alpha(1-\alpha)n}} = \frac1{\sqrt {2\pi \alpha(1-\alpha)n}}\left( \frac{1}{\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{1-\alpha}} \right)^n </math><ref name=":1" />.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Voir aussi
Articles connexes
Modèle:Autres projets Modèle:Colonnes
Bibliographie
- Modèle:Ouvrage
- {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Henry W. Gould, Modèle:Lang, 2010, vol. 1 à 8
- Modèle:Ouvrage
