Équation polynomiale

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Modèle:Sources à lier En mathématiques, une équation polynomiale, ou équation algébrique<ref>https://www.universalis.fr/encyclopedie/equations-algebriques/</ref>, est une équation de la forme :

<math>P =0</math>

où Modèle:Mvar est un polynôme.

Voici un exemple d'équation simple avec une seule inconnue :

<math> 7 x^{42} - x^7 + 3 = 0</math>

Usuellement, le terme équation polynomiale désigne une équation avec une seule inconnue (notée ici Modèle:Mvar) :

<math>a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0=0</math>,

où l'entier naturel Modèle:Mvar et les <math>a_i</math>, appelés coefficients de l’équation, sont connus. Les coefficients sont le plus souvent des nombres réels ou complexes, mais ils peuvent prendre leurs valeurs dans n’importe quel anneau.

Les équations polynomiales sont le sujet central de la théorie des équations. L'objectif de cette théorie est de trouver les racines d'un polynôme, ce qui revient à résoudre une équation polynomiale. Résoudre l’équation consiste à trouver l’ensemble des valeurs de l’inconnue Modèle:Mvar (appartenant à un certain ensemble, en général le même corps ou anneau que les coefficients), appelées solutions de l’équation, pour lesquelles l’équation polynomiale est vraie.

On appelle degré de l’équation la plus grande puissance de l’inconnue affectée d’un coefficient non nul. Par exemple, l’équation <math>x^2 + 2x + 1 = 0</math> d’inconnue <math>x \in \R</math> est une équation polynomiale réelle du second degré dont l'unique solution (racine double) est Modèle:Math.

Toute équation polynomiale de degré Modèle:Math à coefficients complexes a Modèle:Mvar racines complexes (dont certaines sont parfois égales). On peut les exprimer algébriquement si Modèle:Math, mais pas au-delà, sauf dans des cas particuliers.

Théorie

Polynômes

Soit l’équation d'inconnue <math>x</math>

<math>(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0</math>,

dont les coefficients <math>a_i</math> appartiennent à un corps Modèle:Mvar. On dit également que les solutions de (E) dans Modèle:Mvar sont les racines sur Modèle:Mvar du polynôme

<math>P = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0 \quad \in K[X]</math>.

On montre qu'un polynôme de degré Modèle:Mvar sur un corps possède au plus Modèle:Mvar racines. L'équation (E) admet donc au plus Modèle:Mvar solutions.

Si Modèle:Mvar est un surcorps de Modèle:Mvar, on peut considérer (E) comme une équation à coefficients dans Modèle:Mvar ; et les solutions de (E) dans Modèle:Mvar sont aussi solutions dans Modèle:Mvar (la réciproque étant en général fausse). Il est toujours possible de trouver un surcorps de Modèle:Mvar, appelé corps de rupture du polynôme Modèle:Mvar, dans lequel (E) admet au moins une solution.

Existence de solutions pour les équations réelles et complexes

Le théorème de d'Alembert-Gauss affirme que le corps des complexes est algébriquement clos, c’est-à-dire que toute équation polynomiale à coefficients complexes et de degré au moins un admet une solution.

Il s’ensuit que toute équation polynomiale de degré 1 ou plus à coefficients réels admet une solution complexe. En revanche, une équation comme <math>x^2 + 1 = 0 </math> n’a pas de solution dans <math>\R </math> (ses solutions sont les [[Unité imaginaire|complexes Modèle:Math et Modèle:Math]]).

Autant l'intuition des solutions réelles d'équations réelles <math>P(X)=0</math> est immédiate (ce sont abscisses des points où la courbe Modèle:Math rencontre l'axe Modèle:Math), autant l'existence de ces solutions complexes d'équations réelles peut paraître étonnante et leur localisation indéterminable intuitivement.

Toutefois, un polynôme unitaire réel de degré impair admet nécessairement une racine réelle<ref>https://www.universalis.fr/encyclopedie/polynomes/2-fonctions-polynomiales/</ref>. En effet, la fonction polynomiale associée est continue, et elle tend vers <math>-\infty</math> au voisinage de <math>-\infty</math> et vers <math>+\infty</math> au voisinage de <math>+\infty</math>. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, elle prend donc la valeur zéro en un certain réel, qui est ainsi solution de l’équation polynomiale.

Lien avec la théorie de Galois

On dispose de formules donnant les solutions des équations polynomiales réelles ou complexes de degré inférieur ou égal à quatre en fonction de leurs coefficients. Abel a montré qu’il n’est pas possible de trouver de telles formules générales (n’utilisant que les quatre opérations usuelles et les racines) pour les équations de degré cinq ou plus. La théorie de Galois donne un critère permettant de déterminer, étant donné une équation polynomiale, si sa solution s’exprime par radicaux.

Résolution explicite des équations numériques

Démarche

La résolution explicite d’une équation réelle ou complexe du premier degré est immédiate. Résoudre une équation de degré supérieur <math>n</math> revient à factoriser le polynôme associé, c’est-à-dire à réécrire (E) sous la forme

<math>a_n(x-z_1)\dots(x-z_n)=0</math>,

où apparaissent naturellement les solutions <math>z_1, \dots, z_n</math>. On cherche donc à exprimer les <math>z_i</math> en fonction des <math>a_i</math>.

Cette démarche s’applique plus généralement si coefficients et solutions prennent leurs valeurs dans un anneau intègre.

Techniques générales

Factorisation

Lorsqu’une équation Modèle:Math de degré Modèle:Mvar admet une solution évidente Modèle:Math, on peut factoriser le polynôme associé sous la forme Modèle:Math (en divisant Modèle:Math par Modèle:Math, ou en [[Identité remarquable#Différence ou somme de puissances|mettant Modèle:Math en facteur dans chacun des termes Modèle:Math]] dont Modèle:Math est combinaison linéaire). La résolution de Modèle:Math se ramène alors à celle de l'équation Modèle:Math, de degré Modèle:Math. Voir par exemple le [[Équation cubique#Factorisation|cas Modèle:Math]].

Élimination du terme sous-dominant

Pour résoudre une équation de degré Modèle:Mvar,

<math>(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0</math>,

une étape préliminaire fréquente est de rendre nul le terme de degré Modèle:Math : en posant <math>x = y-\frac{a_{n-1}}{n\,a_n}</math>, l'équation <math>(\mathrm E)</math> devient de la forme :

<math>a_ny^n + b_{n -2}y^{n -2} + \dots +b_1 y +b_0 = 0</math>.

Leonhard Euler a conçu [[Méthode de Cardan#Principe de la méthode|cette technique pour le cas Modèle:Math]] mais elle [[Équation quartique#Élimination du terme de degré 3|s'applique aussi au cas Modèle:Math]], par exemple.

Second degré

Modèle:Article détaillé

Pour résoudre une équation du second degré du type <math>ax^2 + bx + c = 0</math> on calcule son discriminant Δ défini par <math>\Delta = b^2 - 4ac</math>.

Si le polynôme est à coefficients réels, il a :

  • deux racines réelles distinctes si <math>\Delta > 0</math> ;
  • une racine réelle double si <math>\Delta = 0</math> ;
  • aucune racine réelle si <math>\Delta < 0</math>, mais deux racines complexes conjuguées.

Troisième degré

Modèle:Article détaillé La méthode la plus connue de résolution des équations de degré 3, avec expression des racines par des radicaux, est celle de Cardan.

Quatrième degré

Modèle:Article détaillé Pour un exposé détaillé de certaines méthodes de résolution voir :

Une équation quartique, <math>ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0</math> avec <math>a\ne0</math>, se ramène par changement de variable à des équations quadratiques, [[Équation quartique#Équations particulières|dès qu'elle est bicarrée (Modèle:Math) ou symétrique (Modèle:Math)]].

Certaines équations de degré 3 ou 4 peuvent être résolues par la trigonométrie circulaire ou hyperbolique.

Équations de degré supérieur

Modèle:Article détaillé Évariste Galois et Niels Henrik Abel ont démontré, indépendamment l’un de l’autre, que d’une manière générale une équation polynomiale de degré 5 ou plus n’est pas résoluble par radicaux (voir paragraphe « Théorie » ci-dessus). Des exemples d'équations non résolubles par radicaux sont donnés dans les deux articles détaillés. Certaines équations particulières le sont, comme celles associées aux polynômes cyclotomiques d'indice 5 ou 17.

Charles Hermite a en revanche démontré que les équations polynomiales de degré 5 sont résolubles à l’aide des fonctions elliptiques.

Voir en particulier : Méthode d'Hermite.

À défaut, on peut trouver des approximations numériques des racines en utilisant des algorithmes de recherche d'un zéro d'une fonction, comme la méthode de Newton.

Notes et références

Modèle:Références

Voir aussi

Modèle:Autres projets

Articles connexes

Liens externes

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