Puissance de deux

Modèle:Méta bandeau d'avertissement{{#ifeq:

       |
       | {{#if:
           |
           |[[{{#ifexist:Catégorie:Article à recycler{{#if:mathématiques|/mathématiques}}|Catégorie:Article à recycler{{#if:mathématiques|/mathématiques}}|Catégorie:Article à recycler}}|Puissance de deux]]{{#if: janvier 2012||}}
         }}

}}

Fichier:Ten octaves visualization.svg

Visualisation des puissances entières de 2, depuis 1 jusqu'à 1024 (2⁰ à 2¹⁰).

En arithmétique, une puissance de deux désigne un nombre noté sous la forme Modèle:Math où Modèle:Mvar est un entier naturel. Elle représente le produit du nombre Modèle:Math répété Modèle:Mvar fois avec lui-même, c'est-à-dire : <math>\underbrace{2 \times \cdots \times 2}_{n\ \mathrm{facteurs}}</math>.

Ce cas particulier des puissances entières de deux se généralise dans l'ensemble des nombres réels, par la fonction exponentielle de base 2, dont la fonction réciproque est le logarithme binaire.

Par convention et pour assurer la continuité de cette fonction exponentielle de base 2, la puissance zéro de 2 est prise égale à 1, c'est-à-dire que Modèle:Math.

Comme Modèle:Math est la base du système binaire, les puissances de deux sont courantes en informatique. Sous forme binaire elles s'écrivent toujours « 10000…0 », comme c'est le cas pour une puissance de dix écrite dans le système décimal.

En informatique, outre la base 10, on utilise très fréquemment le système binaire (base 2) puisque la logique booléenne est à la base de l'électronique numérique. Deux symboles suffisent: 0 et 1. Cette unité élémentaire ne pouvant prendre que les valeurs 0 et 1 s'appelle un bit (de l'anglais binary digit). Une suite de huit bits s'appelle un octet.

Allons maintenant dans l'autre sens et écrivons 77 en base 2. Il s'agit de faire une suite de divisions euclidiennes par 2. Le résultat sera la juxtaposition des restes. Le schéma ci-dessous explique la méthode:

Notations usuelles

Suivant le domaine d'activité, une puissance de deux se note :

2ⁿ
2 ^ n
2 ** n
2 [3] n
2 ↑ n (Notation des puissances itérées de Knuth)
puissance(2,n)
power(2,n)
1 << n
Modèle:Math
Modèle:Math (Notation des flèches chaînées de Conway)

Il existe plusieurs prononciations :

2 exposant n
2 puissance n
2 à la puissance n
2 élevé à la puissance n
n-ième puissance de 2

Informatique

L'informatique qui est basée sur le système binaire utilise toujours les puissances de deux. En particulier, 2ⁿ donne le nombre de façons dont les bits dans un entier binaire de longueur n peuvent être arrangés. Par exemple, un octet contient 8 bits et peut donc stocker 2⁸ valeurs différentes (soit 256).

Aussi, un kibioctet contient 1 024 (2¹⁰) octets.

La plupart des dimensions en informatique sont des sommes de puissances de 2, que ce soit pour la taille de la mémoire (2, 4, 8 ou 12 gibioctets), la résolution vidéo (pour un écran de 14 pouces, il y a généralement 640 par 480 pixels, où 640 = 512 + 128 et 480 = 256 + 128 + 64 + 32) ou le dimensionnement des mémoires de masse.

Premières puissances de deux

Les 33 premières puissances de deux<ref>La liste des Modèle:Unité puissance de deux figure dans les liens externes de la Modèle:OEIS.</ref> sont : Modèle:Début de colonnes

2⁰ = [[1 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2¹ = [[2 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2² = [[4 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2³ = [[8 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2⁴ = [[16 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2⁵ = [[32 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2⁶ = [[64 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2⁷ = [[128 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2⁸ = [[256 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2⁹ = [[512 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2¹⁰ = [[1 024 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2¹¹ = Modèle:Nombre
2¹² = Modèle:Nombre
2¹³ = Modèle:Nombre
2¹⁴ = Modèle:Nombre
2¹⁵ = Modèle:Nombre
2¹⁶ = [[65 536 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2¹⁷ = Modèle:Nombre
2¹⁸ = Modèle:Nombre
2¹⁹ = Modèle:Nombre
2²⁰ = [[1 048 576 (nombre)|Modèle:Nombre]]
2²¹ = Modèle:Nombre
2²² = Modèle:Nombre
2²³ = Modèle:Nombre
2²⁴ = Modèle:Nombre
2²⁵ = Modèle:Nombre
2²⁶ = Modèle:Nombre
2²⁷ = Modèle:Nombre
2²⁸ = Modèle:Nombre
2²⁹ = Modèle:Nombre
2³⁰ = Modèle:Nombre
2³¹ = Modèle:Nombre
2³² = [[4 294 967 296 (nombre)|Modèle:Nombre]]

Modèle:Fin de colonnes