Irrationnel quadratique
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Un irrationnel quadratique est un nombre irrationnel solution d'une équation quadratique à coefficients rationnels, autrement dit, un nombre réel algébrique de degré 2. Il engendre donc un corps quadratique réel ℚ(Modèle:Racine), où Modèle:Math est un entier positif sans facteur carré.
Les irrationnels quadratiques sont caractérisés par la périodicité à partir d'un certain rang de leur développement en fraction continue (théorème de Lagrange).
Racine carrée d'un entier non carré
Les exemples les plus simples d'irrationnels quadratiques sont les racines carrées d'entiers naturels non carrés (le plus célèbre étant [[Racine carrée de deux|Modèle:Sqrt]]). On démontre en effet que si un entier n'est pas le carré d'un entier alors, il n'est même pas le carré d'un rationnel ou encore — par contraposition — que si un entier d est carré d'un rationnel, alors Modèle:Sqrt est un entier. On peut la déduire de la proposition 8 du livre VIII des Éléments d'Euclide<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Euclid's Elements, Book VIII, Proposition 8, par David E. Joyce.</ref>. Les preuves usuelles font appel au lemme de Gauss ou même au théorème fondamental de l'arithmétique mais d'autres sont plus astucieuses, comme celle de Richard Dedekind<ref>Modèle:Lien web.</ref> ou la suivante, essentiellement due à Theodor Estermann<ref>Modèle:Lien web.</ref>,<ref>Modèle:Article.</ref> :
Soit d un entier naturel dont la racine carrée est un rationnel, que l'on écrit sous la forme p/q avec q le plus petit possible (c'est-à-dire que q est le plus petit entier > 0 dont le produit par Modèle:Sqrt est entier), et soit n la partie entière de Modèle:Sqrt. Alors, l'entier r := p – nq vérifie : 0 ≤ r < q et rModèle:Sqrt est entier. Par minimalité de q, r = 0 donc Modèle:Sqrt = n.
Plus généralement, tout entier algébrique non entier est irrationnel.
