Règle de Cauchy
Modèle:Voir homonymes Modèle:Confusion
En mathématiques, la règle de Cauchy, qui doit son nom au mathématicien français Augustin Cauchy, est un critère de convergence pour une série à termes réels ou complexes, ou plus généralement à termes dans un espace vectoriel normé.
Cette règle est parfois confondue avec le « critère de Cauchy » selon lequel, dans un espace complet comme ℝ ou ℂ, toute suite de Cauchy converge.
Énoncé
La règle de Cauchy<ref>Modèle:Note autre projet</ref> donne un critère de convergence pour une série de terme général Modèle:Math dans un espace vectoriel normé, en fonction de la limite supérieure<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>
La série est :
- absolument convergente si Modèle:Math, donc convergente si l'espace est de Banach c'est-à-dire complet ;
- grossièrement divergente si Modèle:Math, c'est-à-dire que la suite Modèle:Math ne tend même pas vers 0.
Si Modèle:Math, il y a indécidabilité à défaut d'informations supplémentaires.
La règle s'applique en particulier pour des séries dans ℝ (où la norme est la valeur absolue) ou dans ℂ (où la norme est le module) ou même dans ℝn ou ℂn, complets pour n'importe quelle norme.
Cas p = 1
La série harmonique qui diverge et la série harmonique alternée qui converge vers Modèle:Math sont deux exemples pour lesquels la limite des Modèle:Math — et pas seulement la limite supérieure — vaut 1, car Modèle:Math tend vers 0.
On montre encore que les réciproques des deux premières propriétés sont fausses :
- la série de Dirichlet de terme général Modèle:MathModèle:-2 est absolument convergente vers [[fonction zêta de Riemann|Modèle:Math]] alors que pour elle, la limite vaut 1 ;
- la série de terme général Modèle:Math diverge grossièrement alors que pour elle, la limite vaut aussi 1.
Lien avec la règle de d'Alembert
Modèle:Voir Ce critère de convergence est très proche de celui de d'Alembert, qui spécifie dans sa forme la plus précise que la série de terme général Modèle:Math :
- converge absolument dès que Modèle:Math ;
- diverge grossièrement dès que Modèle:Math.
La règle de Cauchy lui est légèrement supérieure de deux points de vue :
- Modèle:Langue, le critère de d'Alembert ne s'applique qu'à une série sans terme nul. On peut toujours sans problème se ramener à ce cas, mais il n'est pas nécessaire de prendre cette précaution avec celui de Cauchy ;
- le cas douteux de la règle de d'Alembert est légèrement plus vaste que celui de celle de Cauchy : chaque fois que la règle de d'Alembert conclut quelque chose, celle de Cauchy arrive à la même conclusion, puisqu'il est vrai en général queModèle:RetraitEn revanche, il existe des exemples pour lesquels la règle de Cauchy conclut, mais pas celle de d'Alembert<ref>Gilles Costantini, Modèle:Lien archive.</ref>.
