Intégration par changement de variable
Modèle:Voir homonymes En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales. Il est parfois appelé intégration par substitution en lien avec le nom anglais du procédé.
Théorème
Énoncé
Soient :
- Modèle:Mvar un intervalle réel ;
- Modèle:Math une fonction dérivable, de dérivée intégrable ;
- Modèle:Math une fonction continue.
Alors,
\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)~\mathrm dt=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)~\mathrm dx
</math>.Remarquons qu'il n'est pas nécessaire que Modèle:Mvar soit injective sur <math>[a,b]</math> Modèle:Infra.
Par définition, poser
x = \varphi(t)
</math> avec <math>
t \in [a,b]</math>.
s'appelle faire un changement de variable.
Démonstration
Lorsque Modèle:Mvar est de classe C1, cette règle d'intégration se déduit du théorème fondamental de l'analyse et du théorème de dérivation des fonctions composées : voir par exemple le lien en bas de cette page vers le cours sur Wikiversité.
Remarque
Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de Modèle:Mvar sur <math>I=\varphi\bigl([a,b]\bigr)</math> dans le cas où Modèle:Mvar est une fonction monotone.
- Si Modèle:Mvar est croissante, alors <math>\varphi(a)\le\varphi(b)</math> et Modèle:Mvar est égal à l'intervalle <math>[\varphi(a),\varphi(b)]</math> ; l'intégrale de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas, <math>\varphi'\ge0</math>.
- Si Modèle:Mvar est décroissante, alors <math>\varphi(a)\ge\varphi(b)</math> et Modèle:Mvar devient <math>[\varphi(b),\varphi(a)]</math>. L'intégrale de Modèle:Mvar sur Modèle:Mvar est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme <math>\varphi'\le0</math>, changer le signe revient dans ce cas à remplacer Modèle:Mvar' (dans l'intégrale du membre de gauche du théorème) par sa valeur absolue.
On voit ainsi que dans les deux cas on a :
- <math>
\int_{\varphi\bigl([a,b]\bigr)} f(x)\,\mathrm dx = \int_{[a,b]} f(\varphi(t)) |\varphi'(t)|\,\mathrm dt</math>.
C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples Modèle:Infra.
Exemple
Soit à calculer
- <math>\int_{-\sqrt{\pi/2}}^\sqrt{2\pi}2t\cos(t^2)\,\mathrm dt</math>.
On choisit le changement de variable <math>\varphi(t)=t^2</math>, et donc <math> \mathrm \varphi'(t)=2t </math> avec <math>t</math> variant de <math>-\sqrt{\pi/2}</math> à <math>\sqrt{2\pi}</math> (on remarquera que <math>\varphi</math> n'est pas injective sur cet intervalle)
<math>\varphi\left(-\sqrt{\pi/2}\right)=\pi/2</math>, <math>\varphi\left(\sqrt{2\pi}\right)=2\pi</math>, et <math>\cos</math> est bien continue sur <math>\varphi\left(\left[-\sqrt{\pi/2},\sqrt{2\pi}\right]\right)=[0,2\pi]</math>. Par conséquent :
- <math>\int_{-\sqrt{\pi/2}}^\sqrt{2\pi}2t\cos(t^2)\,\mathrm dt=\int_{-\sqrt{\pi/2}}^\sqrt{2\pi}\varphi'(t)\cos(\varphi(t))\,\mathrm dt=\int_{\pi/2}^{2\pi}\cos x\,\mathrm dx=\left[\sin x\right]^{2\pi}_{\pi/2}=0-1=-1</math>.
Le fait que <math>\varphi</math> ne soit pas injective peut amener à des résultats à première vue surprenants : si <math>\varphi(a_1)=\varphi(a_2)</math>, on aura<math> \int_{a_1}^bf(\varphi(t))\varphi'(t)~\mathrm dt=\int_{a_2}^bf(\varphi(t))\varphi'(t)~\mathrm dt </math> ; c'est la raison pour laquelle on préfère souvent prendre <math>\varphi</math> bijective, et écrire la formule « dans l'autre sens » : <math> \int_a^bf(x)~\mathrm dx=\int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f(\varphi(t))\varphi'(t)~\mathrm dt </math>.
Changements de variables classiques
En pratique, la forme donnée dans l'énoncé du théorème est rarement directement lisible sur l'intégrale à calculer, et partant d'une intégrale telle que <math display=inline> \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}\,\mathrm dx </math>, on essaie plutôt de faire disparaitre les termes les plus « compliqués » (les exponentielles, dans ce cas) en posant <math> x=\varphi(t)</math>, avec <math> \varphi</math> bien choisi (et le plus souvent bijective), donc ici <math display=inline> \varphi(t)=\ln t</math> ; on obtient <math display=inline> \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^x-1}{\mathrm{e}^x+1}\,\mathrm dx=\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{t}\times\frac{t-1}{t+1}\,\mathrm dt </math>, que l'on intègre ensuite par décomposition en éléments simples, obtenant <math display=inline> \int_{1}^{\mathrm{e}} - \frac{1}{t} + \frac{2}{t+1}\,\mathrm dt=-1+2(\ln (\mathrm{e}+1)-\ln 2) </math>.
Cependant, beaucoup d'intégrales ne peuvent se calculer qu'à l'aide de changements de variables plus sophistiqués ; en voici une liste non exhaustive.
Homothéties
La bijection <math>\varphi(t) = ct</math>, pour <math>c>0</math> donne
- <math>\int_a^b f(ct)\,\mathrm dt=\frac1c\int_{ca}^{cb}f(x)\,\mathrm dx</math>.
Règle de Bioche
Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, on peut utiliser les règles de Bioche.
Substitution d'Euler
Pour calculer
- <math>\int f\left(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\,\mathrm dx,</math> où Modèle:Mvar est une fraction rationnelle en deux variables, Modèle:Mvar un entier naturel et Modèle:Mvar, Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar quatre réels donnés, on pose
<math>u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}</math> :
le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en Modèle:Mvar ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
Pour calculer
- <math>\int f\left(x, \sqrt{x^2+ax+b}\right)\,\mathrm dx,</math>
où Modèle:Mvar est une fraction rationnelle en deux variables, Euler a proposé le changement de variable <math>t-x=\sqrt{x^2+ax+b}</math>, qui donne lui aussi toujours une fraction rationnelle en Modèle:Mvar (le cas <math>\sqrt{-x^2+ax+b}</math> peut également être ainsi traité, si l'on accepte de travailler dans les complexes, il faut sinon Modèle:Lien).
Substitution de Weierstrass
La substitution de Weierstrass repose sur la formule du demi-angle, qui transforme une fraction rationnelle de fonctions trigonométriques en Modèle:Mvar en fonctions rationnelles classiques en Modèle:Mvar, par le changement de variables Modèle:Math :
- <math>\int f(\cos x, \sin x)\mathrm{d}x = \int f\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}\mathrm{d}t.</math>
On peut l'adapter aux fractions rationnelles de fonctions hyperboliques en Modèle:Mvar en fonctions rationnelles classiques en Modèle:Mvar, par le changement de variables Modèle:Math :
- <math>\int f(\cosh x, \sinh x)\mathrm{d}x = \int f\left(\frac{1+t^2}{1-t^2}, \frac{2t}{1-t^2}\right)\frac{2}{1-t^2}\mathrm{d}t.</math>
Géométriquement, ces changements de variables se traduisent par la projection vers une droite du cercle trigonométrique (pour les fonctions trigonométriques) ou le disque de Poincaré en dimension 1 (pour les fonctions hyperboliques).
Cas des intégrales impropres
Les formules données précédemment sont en fait valables même si les intégrales sont impropres<ref>Modèle:Note autre projet</ref>, ce qui se produit en particulier lorsque le changement de variable fait passer d'un intervalle réel borné à un intervalle non borné (par exemple, l'intégrale <math>I=\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm dt}{1+\sin^2t}</math> devient, par le changement de variable <math>x=\tan t</math>, <math>I=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{1+2x^2}</math>).
La démonstration de ce résultat se fait simplement en appliquant la définition des intégrales impropres comme limites, donc en passant à la limite dans un changement de variable entre intégrales propres.
Cas des intégrales multiples
Modèle:Article détaillé Lorsque Modèle:Mvar est une fonction de plusieurs variables, on remplace Modèle:Mvar par une injection <math>\Phi</math> de classe C1 sur un ouvert Modèle:Mvar de Modèle:Math et à valeurs dans Modèle:Math. Outre le changement du domaine d'intégration, on utilise la valeur absolue du jacobien de <math>\Phi</math> « à la place » de <math>|\varphi'|</math>. Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne <math>J_\Phi</math>. On donne ici la formulation explicite du changement de variable dans le cas particulier n = 2 :
- <math>\iint_{\Phi(U)} f(x,y) \;\mathrm dx\,\mathrm dy = \iint_Uf\bigl(\Phi(u,v)\bigr)\left|\det J_\Phi(u,v)\right|~\mathrm du\,\mathrm dv</math>.
Pour plus de précision, se reporter aux deux articles détaillés.
Note
Voir aussi
Lien externe
Autre exemple bien détaillé d'intégration par changement de variable
es:Métodos de integración#Método de integración por sustitución
