Dipôle magnétique d'une sphère
Soit une sphère, de centre O, de rayon R, parcourue par un courant de surface <math>\vec{j_S}(P) = j_0 sin \theta \cdot \vec{u_\phi}</math>, de moment magnétique <math>\vec{m} = j_0 V \cdot \vec{u_z}</math>, avec V volume de la boule.
Plus précisément :
- <math> \vec{m} = \frac{1}{2} \int \mathrm{d}^2r [\vec{r} \wedge \vec{j_s}(\vec{r})] = j_0 V \vec{u_z} </math>
Champ magnétique extérieur
Si r >> R, il est clair que B(M) est celui créé par m.
Très étonnant : c'est vrai pour tout r > R !
Soit : <math>\vec B(M)=\frac{\mu_0 \mathfrak m}{4\pi r^3} (2\cos(\theta) \vec u_r + \sin(\theta) \vec u_\theta) = \frac{\mu_0}{4\pi\cdot r^3}\cdot\bigl(3 \vec{u_r}(\vec{m} \cdot \vec{u_r}) - \vec{m}\bigr)</math>
qu'on peut écrire :
- <math> \vec B(M)= \mu_0 j_0 \frac{R^3}{r^3}\cdot\bigl(\vec{u_r}(\vec{u_z} \cdot \vec{u_r}) - \frac{1}{3}\vec{u_z}\bigr)</math>
Champ magnétique intérieur
Bien sûr, la distribution de courant fait penser à celle d'un solénoïde. En effet, le courant s'annule juste sur les bords, de manière que le champ à l'intérieur soit uniforme :
<math>B(M) = B(O) = B_{externe}(0,0,R) </math> par continuité de la composante normale de B.
<math>\vec B(M)= \frac{\mu_0 \vec{m}}{2 \pi R^3} = \frac{2 \mu_0 j_0}{3} \vec{u_z} </math>
Démonstration
La distribution de courant est à support compact : la solution existe et est unique. Il suffit donc de vérifier que la solution donnée satisfait bien à div B = 0 , rot B = 0 et aux conditions aux limites à l'infini (vrai) et sur la sphère, on a :
- <math> [B_{ext} - B_{int}] \wedge u_r(P) = - \frac{3 \mu_0 \vec{m} \wedge \vec{u_r} }{4\pi R^3} = - \frac{3 \mu_0 m .sin(\theta)}{4\pi R^3} \vec{u_{\phi}} = - \mu_0 \vec{j_S} </math>.
ou encore :
- <math> [B_{ext} - B_{int}] = \mu_0 \vec{j_S} \wedge \vec{u_r} </math>
On pourra vérifier que la circulation sur une ligne de champ fermée quelconque satisfait bien le théorème d'Ampère.
Conclusion
Si R devient minuscule, et <math>j_0</math> très grand, m joue le rôle d'une singularité en O, mais B n'y est pas infini, et son intégrale sur la boule vaut (<math>\frac{8\pi}{3} \vec{m} </math> ) : on prend l'habitude de dire qu'un moment dipolaire par unité de volume <math>J</math> (en A/m) crée donc le champ d'un dipôle <math>+ \vec{m} \frac{8 \pi}{3}\delta (r)</math>
On comparera avec le dipôle électrostatique d'une boule.
