Détente de Joule-Gay-Lussac
Modèle:Voir homonymes La détente de Joule Gay-Lussac, du nom de Joseph Louis Gay-Lussac<ref>Les équipements qui servirent à Gay-Lussac lors de ses expériences sont conservés à l'École polytechnique. L’appareil à deux globes de verre : Gay-Lussac et Regnault ?. Le laboratoire de Gay-Lussac.</ref>, est une détente adiabatique irréversible dans le vide. Pendant cette expérience, l'énergie interne du système reste constante : elle est donc isoénergétique.
On en déduit la première loi de Joule : « l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température ».
Description de l'expérience
On considère deux récipients <math>C_1</math> de volume <math>V_1</math> et <math>C_2</math> de volume <math>V_2</math>, aux parois calorifugées et indéformables, pouvant communiquer au moyen d'un robinet. Le premier, <math>C_1</math>, contient un gaz sous la pression <math>P_1</math> et à la température <math>T_1</math>. Le deuxième, <math>C_2</math>, est initialement vide.
On ouvre le robinet. Le gaz se répand dans <math>C_2</math>. Cette diffusion est un processus spontané, puisqu'aucune action extérieure n'est nécessaire pour que le gaz diffuse, et non renversable, puisqu'une fois le récipient <math>C_2</math> rempli il ne se revide pas spontanément : la transformation est donc irréversible. L’état final du gaz est <math>P_f, V_f, T_f</math>.
Pour un gaz parfait, on constate expérimentalement que <math>T_f \approx T_1</math>.
Interprétation
Le système considéré pour les deux calculs ci-dessous regroupe les deux récipients <math>C_1</math> et <math>C_2</math>, de volume total <math>V_f = V_1 + V_2</math>.
Calcul de la variation d'énergie interne
Soit <math>\Delta U</math> la variation d'énergie interne du système considéré. D'après le premier principe de la thermodynamique on a :
- <math>\mathrm{d} U = \delta Q + \delta W</math>
La transformation est adiabatique, il n'y a pas d'échange de chaleur avec l'extérieur, donc <math>\delta Q = 0</math>. De plus, le volume du gaz varie mais aucun travail n'est produit par le gaz (puisque l'enceinte 2 est vide), d'où <math>\delta W = 0</math>. On en conclut que :
- <math>\mathrm{d} U = 0</math>
L'énergie ne varie pas, <math>U = \text{cte}</math>. Pour un gaz parfait, selon la première loi de Joule, l'énergie interne ne dépend que de la température : <math>\mathrm{d}U = C_V \, \mathrm{d}T</math> avec <math>C_V</math> la capacité thermique isochore (à volume constant). Par conséquent la température ne varie pas, <math>T=\text{cte}</math>.
Calcul de la variation d'entropie
On considère la transformation réversible associée qui passe par le même état initial (<math>V_1, T_1</math>) et le même état final (<math>V_f, T_f=T_1</math>). D'après le premier principe de la thermodynamique, puisque la transformation est isoénergétique et réversible :
- <math>T \, \mathrm{d} S = \mathrm{d} U + P \, \mathrm{d} V = P \, \mathrm{d} V</math>
On obtient, d'après la loi des gaz parfaits :
- <math>\mathrm{d} S = P \, {\mathrm{d} V \over T} = nR \, {\mathrm{d} V \over V}</math>
On intègre et on obtient finalement :
- <math>\Delta S = nR \int_{V_1}^{V_f} {\mathrm{d} V \over V} = nR \ln\left( {V_f \over V_1} \right)</math>
Si le volume double (<math>V_f / V_1 = 2</math>), la variation d'entropie molaire <math>\Delta S / n</math> est de Modèle:Unité.
Gaz réel
Pour un gaz suivant l'équation d'état de van der Waals :
- <math>\mathrm{d} U = C_V \, \mathrm{d} T + n^2a \, \frac{\mathrm{d} V}{V^2}</math>.
Pour <math>\mathrm{d} U = 0</math>, on a donc :
- <math>C_V \, \mathrm{d} T = -n^2a \, \frac{\mathrm{d} V}{V^2}</math>
En intégrant, on obtient :
- <math>C_V \left( T_f-T_1 \right) = n^2 a \left( \frac{1}{V_f} - \frac{1}{V_1} \right)</math>
Comme <math>C_V > 0</math>, <math>a > 0</math> et <math>V_f > V_1</math>, on en déduit que <math>T_1 > T_f</math>.
Dans une détente de Joule-Gay-Lussac, un gaz de van der Waals ne peut que refroidir (lorsque son volume augmente à énergie constante sa température diminue). C'est le cas de la majorité des gaz réels, à l'exception notable de l'hélium, de l'hydrogène et de certains gaz rares qui se réchauffent sous certaines conditions de température initiale dans une détente de ce type<ref>Notes de cours d'électrostatique, Modèle:P.79, Groupe de Physique Statistique, Equipe 106, Institut Jean Lamour, université de Lorraine.</ref>,<ref>Modèle:Article.</ref>.
Voir aussi
Références
<references />
