Loi des gaz parfaits
En physique, et plus particulièrement en thermodynamique, la loi des gaz parfaits, ou équation des gaz parfaits, est l'équation d'état applicable aux gaz parfaits. Elle a été établie en 1834 par Émile Clapeyron par combinaison de plusieurs lois des gaz établies antérieurement<ref name="Clapeyron">Modèle:Article.</ref>.
Cette équation s'écrit :
avec :
- <math>P</math> la pression (Pa) ;
- <math>V</math> le volume du gaz (m3) ;
- <math>n</math> la quantité de matière (mol) ;
- <math>R</math> la constante universelle des gaz parfaits (≈ Modèle:Unité) ;
- <math>T</math> la température absolue (K).
Historique
Les premières lois physiques fondamentales relatives aux gaz sont énoncées entre le milieu du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle et le milieu du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, lorsque des savants constatent que certaines relations entre pression, volume et température demeurent vérifiées indépendamment de la nature du gaz. Les lois des gaz décrivent le comportement des gaz lorsqu'on maintient constant l'une des variables d'état – volume, pression ou température – et que l'on étudie comment les deux autres variables changent l'une en fonction de l'autre. Ces lois ne sont toutefois applicables qu'à des pressions modérées (moins de 10 atm), pour des gaz dits « parfaits ». La loi des gaz parfaits résume ces diverses lois en une seule formule.
Actuellement, à l'inverse, la loi des gaz parfaits est déduite de la théorie cinétique des gaz. Celle-ci est fondée sur un modèle de gaz idéal dont les particules constitutives (atomes ou molécules) sont réduites à des points matériels n'ayant entre eux d'autre relation que des chocs parfaitement élastiques. Les autres lois sont alors des conséquences de la loi des gaz parfaits.
Loi de Boyle-Mariotte
La loi de Boyle-Mariotte est souvent appelée « loi de Boyle » par les anglophones, « loi de Mariotte » ou « loi de Boyle-Mariotte » par les francophones. Elle fut établie en 1662 par Robert Boyle et confirmée en 1676 par l'abbé Edmé MariotteModèle:Refnec.
La loi de Boyle-Mariotte spécifie qu'à température constante, la pression est inversement proportionnelle au volume et réciproquement. On met expérimentalement cette loi en évidence à l'aide d'un récipient hermétique de volume variable équipé d'un manomètre. Lorsqu'on réduit le volume, en veillant à ce que la température demeure constante, la pression augmente en proportion inverse, et le coefficient de proportionnalité est le même quel que soit le gaz utilisé.
Si le gaz contenu dans le récipient passe de l'état 1 (<math>P_1</math>, <math>V_1</math>) à l'état 2 (<math>P_2</math>, <math>V_2</math>) :
- <math>P_1 V_1=P_2 V_2= f(T,n)</math>
où <math>P</math> est la pression, <math>V</math> le volume de gaz et <math>f(T,n)</math> dépend de la température <math>T</math> et de la quantité de matière <math>n</math>, constantes entre les états 1 et 2.
Loi de Charles
Modèle:Article détaillé Quand la pression d'un gaz reste constante, le volume d'une quantité donnée d'un gaz varie proportionnellement à la température absolue. Si le gaz contenu dans le récipient passe de l'état 1 (<math>V_1</math>, <math>T_1</math>) à l'état 2 (<math>V_2</math>, <math>T_2</math>) :
- <math> \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2} =f(P,n)</math>
où <math>f(P,n)</math> dépend de la pression <math>P</math> et de la quantité de matière <math>n</math>, constantes entre les états 1 et 2.
La température <math>T</math> est mesurée dans une échelle absolue qui a son origine au zéro absolu. Dans le système SI, elle est mesurée en kelvins.
Loi de Gay-Lussac
Modèle:Article détaillé Si le volume reste constant, la pression d'une quantité donnée d'un gaz varie proportionnellement à la température absolue. Si le gaz contenu dans le récipient passe de l'état 1 (<math>P_1</math>, <math>T_1</math>) à l'état 2 (<math>P_2</math>, <math>T_2</math>) :
- <math> \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2} =f(V,n)</math>
où <math>f(V,n)</math> dépend du volume <math>V</math> et de la quantité de matière <math>n</math>, constants entre les états 1 et 2.
La température <math>T</math> est mesurée dans une échelle absolue qui a son origine au zéro absolu. Dans le système SI, elle est mesurée en kelvins.
Loi d'Avogadro
La loi d'Avogadro, appelée aussi en France « loi d'Avogadro-Ampère », spécifie que des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules, autrement dit qu'à pression et température données, les gaz parfaits ont tous le même volume molaire.
La relation entre nombre de particules et volume, à pression et température constante, est donnée par :
- <math>\frac{V_1}{n_1}=\frac{V_2}{n_2} = f(P,T)</math>
où <math>n</math> est la quantité de matière, et où <math>f(P,T)</math> dépend de la pression et de la température, constantes entre les états 1 et 2.
L'énoncé d'Avogadro a été formulé simultanément et indépendamment par Avogadro et Ampère en 1811.
Cette loi n'a pas le même statut que les lois précédentes : ce n'est pas une loi expérimentale mais une hypothèse, postulant la nature atomique de la matière à une époque où cette hypothèse atomique était purement spéculative. Elle résultait toutefois de résultats expérimentaux, connus depuis Lavoisier, sur la dissociation et la synthèse de gaz tels que la vapeur d'eau et l'acide chlorhydrique.
L'hypothèse d'Avogadro-Ampère n'a pris force de loi qu'à la fin du Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, à la suite des succès de la théorie cinétique des gaz (1866) et lorsque de multiples résultats d'expériences, dont la détermination du nombre d'Avogadro par Jean Perrin (1900)<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, conduisirent à considérer l'hypothèse atomique comme un fait expérimental.
Loi de Dalton
La loi de Dalton (ou loi des pressions partielles) établit que la pression d'un mélange de gaz parfaits dans un volume <math>V</math> et à une température <math>T</math> est la somme des pressions partielles des <math>k</math> composants du mélange :
- <math> P_\text{total} = P_1 + P_2 + P_3 + \cdots + P_k = \sum_{i=1}^k P_i</math>
où <math>P_i</math> est la pression partielle du constituant <math>i</math>, c'est-à-dire la pression qu'aurait ce gaz s'il occupait seul le volume <math>V</math> à la température <math>T</math>.
Loi d'Amagat
La loi d'Amagat (ou loi d'additivité des volumes) établit que le volume d'un mélange de gaz parfaits à la pression <math>P</math> et à la température <math>T</math> est la somme des volumes partiels des <math>k</math> composants du mélange :
- <math> V_\text{total} = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots + V_k = \sum_{i=1}^k V_i</math>
où <math>V_i</math> est le volume partiel du constituant <math>i</math>, c'est-à-dire le volume qu'aurait ce gaz seul à la pression <math>P</math> et à la température <math>T</math>.
Équation des gaz parfaits
Énoncé général
L'équation des gaz parfaits, ou loi des gaz parfaits, résulte de la combinaison en 1834 par Émile Clapeyron<ref name="Clapeyron"/> des lois précédentes reliant les quatre variables pression <math>P</math>, volume <math>V</math>, température <math>T</math> et quantité (nombre de moles) <math>n</math> de gaz :
- <math>PV = n R T</math>
où la constante <math>R</math> appelée « constante des gaz parfaits » vaut Modèle:Unité. Une formulation équivalente est donnée par :
- <math>PV = N k_B T</math>
où :
- <math>k_B</math> = Modèle:Unité est la constante de Boltzmann ;
- <math>N</math> est le nombre de particules : <math>N = n \cdot \mathcal{N}_A</math> avec <math> \mathcal{N}_A</math> le nombre d'Avogadro (<math> \mathcal{N}_A</math> = Modèle:Unité).
On notera que <math>R= \mathcal{N} _A \cdot k_B</math>.
D'autre part, si le gaz parfait est composé de <math>k</math> espèces différentes, chaque espèce <math>i</math> étant représentée par une quantité <math>n_i</math>, alors la loi des gaz parfaits s'écrit :
| Équation des gaz parfaits : <math>PV = \sum_{i=1}^k n_i RT</math> |
La loi des gaz parfaits n'est exacte que pour les gaz pour lesquels les effets des diverses interactions moléculaires sont négligeables (voir gaz réel). Les gaz rares, néon, argon, xénon répondent à cette loi. Les molécules diatomiques telles que l'hydrogène, l'azote ou l'oxygène en dévient peu. La loi s'applique mal aux molécules plus lourdes, comme le butane<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Cependant, cette loi constitue une bonne approximation des propriétés de la plupart des gaz réels sous pression (moins de 10 atm) et température modérées.
Énoncé en météorologie
La forme de la loi des gaz parfaits utilisée en météorologie est la suivante<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> :
avec :
- <math>P</math> la pression atmosphérique ;
- <math>\rho</math> la masse volumique de l'air ;
- <math>c_P</math> la capacité thermique isobare massique de l'air (~ 1005 J/(K·kg))<ref name=Ohio>Modèle:Lien web.</ref> ;
- <math>c_V</math> la capacité thermique isochore massique de l'air (= 5/7 <math>c_P</math>)<ref name=Ohio/> ;
- <math>T</math> est la température absolue.
La relation de Mayer pour un gaz parfait donne <math>c_P - c_V = {R \over M}</math> avec <math>M</math> la masse molaire du gaz. La masse volumique du gaz vaut <math>\rho = {m \over V}</math>, avec <math>m</math> la masse de gaz dans le volume <math>V</math>. La masse molaire du gaz est liée à la masse de gaz et à sa quantité de matière <math>n</math> correspondante par <math>M = {m \over n}</math>. Ainsi, à partir de la loi des gaz parfaits :
- <math>P = {1 \over V} \cdot n \cdot R \cdot T = {\rho \over \bcancel{m}} \cdot {\bcancel{m} \over \cancel{M}} \cdot \left[ \cancel{M} \left( c_P - c_V \right) \right] \cdot T = \rho \left( c_P - c_V \right) T</math>
Notes et références
<references/>
