Méthode de Tschirnhaus

La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une tentative de résoudre le point clé de la théorie des équations à savoir trouver une méthode générale de résolution de l'équation polynomiale. Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degré supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.

Principe de la méthode

Tschirnhaus rappelle d'abord<ref name=Tschirnhaus/> que toute équation de degré Modèle:Mvar

<math>x^n +a_{n-1} x^{n -1}+\dots +a_1x+a_0 = 0</math>

[[Équation polynomiale#Élimination du terme sous-dominant|se ramène classiquement à une équation sans terme de degré Modèle:Math]], par un changement de variable de la forme <math>x=y+b_0</math>. En effet, le coefficient du terme en <math>y^{n-1}</math> du polynôme

<math>(y+b_0)^n+a_{n-1}(y+b_0)^{n -1}+\dots+a_1(y+b_0)+a_0</math>

est <math>nb_0+a_{n-1}</math> donc il suffit, pour que ce coefficient soit nul, de choisir <math>b_0</math> égal à <math>-\frac{a_{n-1}}n</math>.

Cela lui donne l'idée, pour annuler plus de termes, d'introduire une inconnue auxiliaire Modèle:Mvar qui n'est plus une translatée de Modèle:Mvar mais un polynôme, en posant<ref name=Tschirnhaus>Modèle:Article. Traduction en anglais : Modèle:Article.</ref> :

<math>x^k=b_{k-1}x^{k-1}+\dots+b_1x+b_0+y</math>

où Modèle:Mvar (strictement inférieur à Modèle:Mvar) est le nombre de termes à annuler, et le choix des coefficients <math>b_{k-1},\dots,b_1,b_0</math> est expliqué ci-dessous.

Cette transformation se nomme transformation de Tschirnhaus.

En éliminant Modèle:Mvar entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une [[Résultant|équation de degré Modèle:Mvar et d'inconnue Modèle:Mvar dont les coefficients dépendent des Modèle:Mvar coefficients Modèle:Mvar]]. On tente alors de déterminer les coefficients <math>b_i</math> de façon à obtenir une équation en Modèle:Mvar plus simple à résoudre, par exemple (pour Modèle:Math) de la forme :

<math>y^n-c= 0</math>.

Pour cela, dans l'équation en Modèle:Mvar, on pose égaux à Modèle:Math tous les coefficients des monômes de degré Modèle:Math à Modèle:Math. On obtient ainsi un système de Modèle:Math équations à Modèle:Math inconnues <math>b_{n-2},\dots,b_1, b_0</math>. Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans l'équation :

<math>x^{n-1}-b_{n-2}x^{n-2}-\dots-b_1x-(b_0+y)=0</math>,

où Modèle:Mvar prend successivement pour valeur l'une des Modèle:Mvar [[Racine d'un nombre|racines Modèle:Mvar-ièmes]] de Modèle:Mvar.

Tschirnhaus ramène ainsi (sur l'exemple Modèle:Math) la résolution d'une équation de degré Modèle:Mvar à celle de Modèle:Mvar équations de degré Modèle:Math. Cependant<ref>Modèle:Article.</ref>, sa méthode fournit Modèle:Math valeurs pour Modèle:Mvar, qu'il faut tester pour détecter, parmi elles, les Modèle:Mvar solutions effectives. En précisant son idée, on peut trouver directement ces Modèle:Mvar solutions (une par valeur de Modèle:Mvar)<ref name=Wikiversité1/>.

La méthode ci-dessus permet à Tschirnhaus de donner, pour les solutions d'une équation cubique, une nouvelle formule, différente de celle de Cardan. Il retrouve aussi cette dernière par un autre changement de variable : Modèle:Math, réinventant ainsi la substitution de Viète.

Application à la résolution des équations cubiques

Considérons une équation de degré 3, sans perte de généralité de la forme

<math>x^3+px+q=0</math>

avec <math>p\ne0</math>. Posons, comme indiqué ci-dessus :

<math>x^2=ax+b+y</math>.

Le système

<math>\begin{cases}x^3+px+q&=0\\x^2&=ax+b+y\end{cases}</math>

est équivalent<ref name=Wikiversité1>Ces calculs de Modèle:Harvsp sont détaillés, complétés et testés sur un exemple, dans la première partie d'un devoir corrigé sur Wikiversité : suivre le lien en bas de page.</ref> au système

<math>\begin{cases}(a^2+b+y+p)x&=-(q+ab+ay)\\x^2&=ax+b+y\end{cases}</math>

qui admet des solutions Modèle:Mvar si et seulement si<ref name=Wikiversité1/>

<math>(q+ab+ay)^2=-a(q+ab+ay)(a^2+b+y+p)+(b+y)(a^2+b+y+p)^2</math>.

Cette condition se réécrit<ref name=SIC>Modèle:Harvsp, aux notations près.</ref> :

<math>y^3+(3b+2p)y^2+(3b^2+4pb+p^2+pa^2-3qa)y+b^3+2pb^2+p^2b+pa^2b-3qab-q^2-pqa-qa^3=0\quad(*)</math>.

On détermine Modèle:Mvar et Modèle:Mvar<ref name=Wikiversité1/> de façon qu'elle ne contienne plus de terme en Modèle:Mvar² ni en Modèle:Mvar :

<math>\begin{align}&\begin{cases}3b+2p&=0\\3b^2+4pb+p^2+pa^2-3qa&=0\end{cases}\\

\Leftrightarrow&\begin{cases}b&=-\frac{2p}3\\a&=\frac3p\left(\frac q2+\delta\right)\text{ avec }\delta^2=\frac{q^2}4+\frac{p^3}{27}.\end{cases} \end{align}</math> Ce choix de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar permet de simplifier l'équation <math>(*)</math>, qui devient alors<ref name=SIC/><ref name=Wikiversité1/> :

<math>y^3=\left(\frac{6\delta}p\right)^3\frac{pa}3</math>.

On termine la résolution<ref name=SIC/> en choisissant une racine cubique Modèle:Mvar de <math>\frac{pa}3</math>, en posant <math>y_k=\frac{6\delta}pz\,\mathrm j^k</math> pour <math>k=0,1,2</math>, et en calculant, pour chacune de ces trois valeurs, les deux solutions de l'équation du second degré <math>x^2=ax+b+y_k</math>. On obtient ainsi en général<ref name=Wikiversité1/> 6 valeurs distinctes, dont les 3 solutions de <math>x^3+px+q=0</math> font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 6 valeurs.

Méthode particulière pour les équations du quatrième degré

Considérons une équation de degré 4, sans perte de généralité de la forme

<math>x^4+px^2+qx+r=0</math>

avec <math>q\ne0</math>. Considérons la transformation de Tschirnhaus suivante :

<math>x^2=ax+b+y</math>.

Le système

<math>\begin{cases}x^4+px^2+qx+r&=0\\x^2&=ax+b+y\end{cases}</math>

admet des solutions Modèle:Mvar si et seulement si<ref name=Wikiversité2>Ces calculs sont détaillés (et testés sur un exemple) dans la seconde partie du devoir sur Wikiversité déjà mentionné.</ref>

<math>y^4+(4b+2p)y^3+Ay^2+By+C=0\quad(**)</math>

avec

<math>A=6b^2+6bp+pa^2-3qa+p^2+2r</math>,

<math>B=4b^3+6pb^2+2b(pa^2-3qa+p^2+2r)+2r(2a^2+p)-q(a^3+pa+q)</math>,

<math>C=b^4+2pb^3+b^2(pa^2-3qa+p^2+2r)+b\left[2r(2a^2+p)-q(a^3+pa+q)\right]+ar(a^3+pa-q)+r^2</math>.

L'équation <math>(**)</math> est bicarrée si

<math>\begin{cases}4b+2p&=0\\B&=0,\end{cases}</math>

ce qui équivaut à<ref name=Wikiversité2/>

<math>\begin{cases}b=-\frac p2\\-qa^3+(4r-p^2)a^2+2pqa-q^2&=0.\end{cases}</math>

Pour résoudre <math>x^4+px^2+qx+r=0</math>, il suffit donc de :

• trouver une solution Modèle:Mvar de l'« équation Modèle:Lien » <math>-qa^3+(4r-p^2)a^2+2pqa-q^2=0</math> ;
• calculer Modèle:Mvar et Modèle:Mvar pour ce choix de Modèle:Mvar et pour <math>b=-\frac p2</math> ;
• trouver les quatre solutions <math>y_k</math> (<math>k=0,1,2,3</math>) de l'équation bicarrée <math>y^4+Ay^2+C=0</math> obtenue ;
• pour chacune de ces quatre valeurs, trouver les deux solutions <math>x_{k,j}</math> (<math>j=0,1</math>) de <math>x^2-ax-b-y_k=0</math>.

On obtient ainsi 8 valeurs <math>x_{k,j}</math>, dont les 4 solutions de <math>x^3+px+q=0</math> font nécessairement partie. Il suffit, pour conclure, de tester ces 8 valeurs<ref name=Wikiversité2/>.

Équation du cinquième degré

Voir à ce propos l'article Radical de Bring.

Remarque historique

Modèle:Voir Cette méthode est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683<ref name=Tschirnhaus/>.