Théorèmes de Dini

Modèle:Voir homonymes En mathématiques, et plus précisément en topologie, les théorèmes de Dini énoncent des conditions sous lesquelles la convergence simple d'une suite de fonctions implique la convergence uniforme. Ces théorèmes portent le nom du mathématicien italien Ulisse Dini.

Convergence simple et convergence uniforme

Les espaces de fonctions réelles peuvent être munis de topologies différentes, auxquelles sont associées des notions différentes de convergence d'une suite de fonctions, dont la convergence simple et la convergence uniforme :

• La convergence simple et la convergence uniforme ne nécessitent aucune structure particulière sur l'ensemble de définition. La convergence simple est en général plus facile à obtenir que la convergence uniforme mais elle ne préserve pas la continuité : une limite simple de fonctions continues n'est pas continue en général ;
• La convergence uniforme se définit pour des suites de fonctions définies sur un espace quelconque, à valeurs dans un espace métrique (ou plus généralement, dans un espace uniforme, comme un groupe topologique). Plus difficile à prouver, la convergence uniforme offre l'avantage de préserver certaines propriétés, comme l'intégrale : la limite des intégrales sur un segment d'une suite de fonctions convergeant uniformément est l'intégrale de la fonction limite.

La convergence uniforme implique la convergence simple, mais la réciproque est fausse dès que l'espace de départ est infini. Les théorèmes de Dini donnent des conditions sous lesquelles la convergence simple d'une suite de fonctions réelles implique sa convergence uniforme. Ce sont donc des outils très efficaces en pratique pour prouver qu'une suite de fonctions converge uniformément. Les théorèmes de Dini demandent que l'espace de départ possède une structure particulière, et que l'espace d'arrivée soit ℝ.

Énoncés des théorèmes de Dini

Premier théorème de Dini

Le premier théorème de Dini peut être vu comme une version pour les intégrales de Riemann (intégrale des fonctions continues sur un segment) du théorème de convergence monotone.

Modèle:Théorème Formellement, on dispose d'un espace topologique Modèle:Math, d'une suite de fonctions <math>(f_n:X\to\R)</math>, et l'on fait les hypothèses suivantes :

1. Continuité : les fonctions Modèle:Math et la fonction Modèle:Math sont continues sur Modèle:Math ;
2. Monotonie : la suite Modèle:Math est soit croissante (<math>\forall n\in\N\, \forall x\in X\, f_n(x)\le f_{n+1}(x)</math>), soit décroissante (<math>\forall n\in\N\,\, \forall x\in X\,\, f_{n+1}(x) \le f_n(x)</math>) ;
3. Compacité : Modèle:Math est compact et donc de tout recouvrement ouvert de Modèle:Math on peut extraire un sous-recouvrement fini ;
4. Convergence simple : pour tout Modèle:Math de Modèle:Math, la suite de réels Modèle:Math converge vers Modèle:Math.

On en déduit alors que la suite Modèle:Math converge uniformément sur Modèle:Math vers Modèle:Math.

Deuxième théorème de Dini

Modèle:Théorème On fait donc les hypothèses suivantes :

1. Continuité : la fonction Modèle:Math est continue ;
2. Monotonie : pour tout entier Modèle:Math et pour tout couple Modèle:Math tel que <math>a \leq x \leq y \leq b</math>, on a : <math>f_n(x) \leq f_n(y)</math> ;
3. Convergence simple : pour tout Modèle:Math de Modèle:Math, la suite de réels Modèle:Math converge vers Modèle:Math.

On en déduit que la suite Modèle:Math converge uniformément sur Modèle:Math vers la fonction Modèle:Math.

Bien que connu sous le nom de deuxième théorème de Dini dans l'enseignement francophone, il semble qu'en fait ce théorème soit dû à Pólya<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Généralisation<ref>Modèle:Ouvrage</ref> : la conclusion et la démonstration sont inchangées si l'on permet à Modèle:Math d'être un intervalle compact de [[Droite réelle achevée#Métriques et topologie|Modèle:Surligner]] au lieu de ℝ, c'est-à-dire si l'on autorise Modèle:Math ou Modèle:Math (la fonction Modèle:Math étant alors encore bornée, puisqu’elle prend des valeurs finies aux extrémités de l’intervalle).

Convergence uniforme des fonctions de répartition

La généralisation ci-dessus du deuxième théorème de Dini possède une application précieuse en probabilités et en statistique : Modèle:Énoncé

En conséquence, la convergence uniforme des fonctions de répartition a lieu dans le cas du théorème central limite, où la fonction de répartition limite est celle de la loi normale et est, à ce titre, continue. Cela a des conséquences non anecdotiques en probabilités et statistique, comme le théorème central limite pour la médiane ou pour les processus de renouvellement.

Un détour par l'équicontinuité

Le premier théorème de Dini peut se déduire, via le lemme suivant, du théorème d'Ascoli, ou simplement d'une propriété fondamentale de l'équicontinuité qu'on utilise pour prouver ce dernier.

Notons que dans ce lemme purement local, l'espace de départ n'est pas supposé compact.

Contre-exemples si l'intervalle de définition n'est pas compact

Les énoncés des deux théorèmes de Dini ne se généralisent pas au cas de fonctions définies sur un intervalle non compact, comme le montre l'exemple de la suite de fonctions de variable réelle Modèle:Math ou l'exemple de la suite de fonctions définies sur [0 ; 1[, Modèle:Math.

Remarque : dans le contre-exemple de la suite Fn : <math> F_n(x)=\frac{1}2+\frac1{\pi}\left(\arctan(x-n)\right)</math>, les fonctions Fn sont des fonctions de répartitions, mais la limite, la fonction nulle, n'est pas une fonction de répartition.

Démonstrations

Les démonstrations proposées reprennent les notations introduites ci-dessus.

Du premier théorème

Quitte à remplacer les Modèle:Math par Modèle:Math, on peut supposer que la suite Modèle:Math est décroissante et qu'elle converge simplement vers 0.

On a alors Modèle:Retrait

Fixons un nombre réel ε > 0 et considérons les ensembles

<math>V_n(\varepsilon)=\{x\in X,\ f_n(x)<\varepsilon\}.</math>

Par continuité des fonctions Modèle:Math, ces ensembles sont des ouverts (en fait il suffirait, dans le cas décroissant, de supposer les Modèle:Math semi-continues supérieurement et Modèle:Math semi-continue inférieurement). La convergence simple de Modèle:Math vers 0 se traduit par :

<math> X \subset \bigcup_{n \in \N} V_{n}(\varepsilon).</math>

Comme Modèle:Math est compact, on peut extraire un sous-recouvrement fini ; il existe donc un entier Modèle:Math tel que

<math> X \subset \bigcup_{n \le N_\varepsilon} V_n(\varepsilon).</math>

Par monotonie, la suite (Modèle:Math(ε)) est croissante. Il vient donc :

<math>X=V_{N_\varepsilon}(\varepsilon).</math>

À nouveau, en utilisant l'hypothèse de monotonie : <math>\forall n\ge N_\varepsilon,\, f_n(x)\le f_{N_\varepsilon}(x)<\varepsilon</math>, on déduit donc que la convergence de Modèle:Math vers 0 est uniforme sur Modèle:Math.

Du deuxième théorème

Soit un réel ε > 0. La fonction Modèle:Math est non seulement (par hypothèse) continue de Modèle:Math dans ℝ (donc bornée) mais aussi croissante (comme limite simple de fonctions croissantes).

En choisissant un entier Modèle:Math/ε, il existe — d'après le théorème des valeurs intermédiaires — une subdivision Modèle:Math de Modèle:Math telle que Modèle:Retrait

Pour tout Modèle:Math, soit Modèle:Math tel que Modèle:Math. La croissance de Modèle:Math et des Modèle:Math et le choix de la subdivision impliquent (pour tout entier Modèle:Math) Modèle:Retrait et Modèle:Retrait

Par convergence simple, il existe un entier Modèle:Math tel que Modèle:Retrait

Les inégalités précédentes donnent alors : Modèle:Retrait

donc la convergence de Modèle:Math vers Modèle:Math est uniforme sur Modèle:Math.

De la convergence uniforme des fonctions de répartition

Notons Modèle:Math la suite de fonctions de répartition qui converge vers Modèle:Math et prolongeons ces fonctions à Modèle:Surligner par leurs limites en Modèle:Math en posant : Modèle:Retrait

Les trois hypothèses (croissance des Modèle:Math, continuité de Modèle:Math et convergence simple) sont préservées lors de cette opération et la convergence uniforme de Modèle:Math vers Modèle:Math en découle.

Du détour par l'équicontinuité

Supposons, comme dans la preuve du premier théorème, que la suite Modèle:Math est décroissante et converge simplement vers 0.

Fixons un point Modèle:Math de Modèle:Math et un nombre réel ε > 0. Puisque Modèle:Math tend vers 0, il existe un entier Modèle:Math tel que Modèle:Math < ε.

Par continuité en Modèle:Math de Modèle:Math, il existe un voisinage Modèle:Math de Modèle:Math tel que pour tout point Modèle:Math de Modèle:Math,

<math>\forall k\leq n,|f_k(y)-f_k(x)|<\varepsilon.</math>

On en déduit en particulier Modèle:Math < 2ε, d'où (par décroissance de la suite Modèle:Math)

<math>\forall k\geq n, -\varepsilon<0-f_n(x)\leq f_k(y)-f_k(x)\leq f_n(y)-0< 2\varepsilon,</math>

si bien que finalement

<math>\forall y\in V, \forall k,|f_k(y)-f_k(x)|<2\varepsilon,</math>

ce qui prouve l'équicontinuité au point Modèle:Math de la suite Modèle:Math.

Note et référence

<references />