Transformation complexe
La transformation complexe est une méthode mathématiques permettant de dériver, d'intégrer ou d'appliquer facilement des opérations arithmétiques (+, -, × et /) à des grandeurs fonctions sinusoïdales du temps, à condition qu'elles soient linéaires. Elle remplace avantageusement la représentation de Fresnel dans des situations compliquées.
Principe
À une grandeur Modèle:Math, fonction sinusoïdale du temps d'expression :
- <math>g(t) = \widehat G \cdot \cos (\omega t + \varphi ) \,</math>,
on fait correspondre un nombre complexe : <math> \underline G \,</math> de module Modèle:Mvar et d'argument Modèle:Mvar. En notant Modèle:Mvar l'unité imaginaire, la notation exponentielle s'écrit
- <math> \underline G = \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)}\,</math>,
RemarqueModèle:Référence nécessaire : il est fréquent que l'on abrège la notation exponentielle sous la forme :
- <math> \underline G = \ G(t) \cdot {\rm e}^{j\varphi}\,</math>, avec : <math> \ G(t)= \ G \cdot {\rm e}^{j \omega t}\,</math>,
- Dans ce cas, il faut conserver en mémoire l'existence de Modèle:Mvar pour les dérivations ou les intégrations.
En électricité, pour les courants et les tensions, il est d'usage d'utiliser un nombre complexe dont le module est égal à la valeur efficace de la grandeur :
- <math>G =\frac {\hat G}{\sqrt{2}} \,</math>
Opérations élémentaires
- Opérations arithmétiques : on se ramène à des opérations sur les nombres complexes, puis on applique la transformation inverse pour obtenir la grandeur sinusoïdale qui correspond au résultat de l'opération.
- Dérivation
- On dérive le nombre complexe image :
- <math> \underline G = \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)}\,</math>,
- on obtient :
- <math> \omega \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j\left(\omega t + \varphi + \frac{\pi}{2}\right)} \,</math> ou encore <math> j \omega \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)} \,</math>
- Intégration
- On intègre le nombre complexe image et on obtient :
- <math> \frac{1}{\omega} \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j\left(\omega t + \varphi - \frac{\pi}{2}\right)} \,</math>, ou encore <math> \frac{1}{j\omega} \cdot \ G \cdot {\rm e}^{j(\omega t + \varphi)} \,</math>
Représentation complexe des courants et tensions (généralisable)
Dans un circuit en régime permanent sinusoïdal composé de composants linéaires, un courant ou une tension est une fonction Modèle:Math du type :
- <math> g(t) = \widehat G \cdot \cos (\omega t + \varphi ) \,</math>,
On note <math> \underline g </math> un nombre complexe associé à Modèle:Math égal à :
<math> \underline g = \ G \cdot e^{j \varphi} \cdot {\rm e}^{j \omega t} </math>
- <math> | \underline g |</math> est égal à la valeur efficace de Modèle:Math,
- <math> \operatorname{arg}( \underline g ) </math> est égale à la phase totale de Modèle:Math (incluant le Modèle:Math).
Le terme <math> \ G \cdot {\rm e}^{j \varphi} </math> est appelée amplitude complexe<ref>http://www.brouchier.com/Amplitude_Complexe</ref> de s car elle caractérise le signal tandis que le terme Modèle:Math est commun à tous les signaux du circuit.
On remarque que <math> g (t) = \Re ( \underline g ) </math>.
<math> \underline g </math> est donc l'élément mathématique qui porte les informations de phase et d'amplitude de <math> g (t) </math>.
Ce sont donc les amplitudes complexes qui sont recherchées pour décrire un circuit en régime sinusoïdal.
La notation sous forme exponentielle permet d'éviter l'utilisation de formules trigonométriques et elle est à mettre en liens avec l'impédance complexe.
