Équation polaire
{{#invoke:Bandeau|ébauche}}
Le plan est muni d'un repère orthonormal <math>(\mathrm{O},\vec i,\vec j)</math>. Si <math>f</math> est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires <math>(\rho,\theta)</math> vérifient l'équation :
- <math>\rho = f(\theta)</math>.
On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :
- <math>\rho = f(\theta)</math>.
Si <math>\rho=0</math>, on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle <math>(\vec i,\vec{OM})</math>.
Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle <math>\left[\theta_1,\theta_2\right]</math> est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle <math>\theta_1</math> à l'angle <math>\theta_2</math>.
Base mobile
On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe <math>\left(\vec u(\theta),\vec v(\theta)\right)</math>, obtenue par rotation de θ à partir de la base <math>\left(\vec i,\vec j\right)</math>. Ainsi
- <math>\vec u(\theta)=\begin{pmatrix} \cos \theta \\ \sin \theta \end{pmatrix}
\qquad \vec v(\theta)=\begin{pmatrix} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}=\vec u(\theta+\frac\pi 2)</math>.
On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.
- <math>\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm d\theta}=\vec v \qquad\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm d\theta}=-\vec u</math>.
Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.
Vecteur position
Par définition même des coordonnées polaires, <math>\vec{u}</math> est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que <math>\vec{OM}</math> et ainsi
- <math>\vec{OM}=f(\theta)\vec u</math>.
Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.
Tangente à la courbe
Si la fonction <math>f</math> est dérivable alors
- <math>\frac{\mathrm d\vec{OM}}{\mathrm d\theta} = f'(\theta)\vec u(\theta) + f(\theta)\vec v(\theta)</math>.
Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à <math>\theta</math>. Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle <math>V</math> entre le vecteur <math>\vec{OM}</math> et le vecteur tangent <math>\frac{\mathrm d\vec{OM}}{\mathrm d\theta}</math> vérifie donc :
- <math>\tan V=\frac{f(\theta)}{f'(\theta)}</math> si <math>f'(\theta)\ne0</math>,
- <math>V=\pm\frac{\pi}2</math> si <math>f'(\theta)=0</math>.
Abscisse curviligne
Si l'origine est prise en <math>\theta_0</math> alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point <math>M(\theta_0)</math> et <math>M(\theta_1)</math>, est :
- <math>\int_{\theta_0}^{\theta_1}\sqrt{f'^2(\theta)+f^2(\theta)}\,\mathrm d\theta</math>.
Rayon de courbure
Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.
Si la fonction <math>f</math> est deux fois dérivable, et si <math>2f'^2(\theta) + f^2(\theta)-f(\theta)f(\theta)</math> est non nul, le rayon de courbure est :
- <math>\frac{(f'^2(\theta) + f^2(\theta))^{3/2}}{2f'^2(\theta) + f^2(\theta)-f(\theta)f(\theta)}</math>.
Point d'inflexion
Si la fonction <math>f </math> est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité <math>2f'^2(\theta) + f^2(\theta)-f(\theta)f(\theta)</math>. L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.
Branches infinies
Pour étudier une branche infinie quand <math>\theta\to\theta_0</math>, on utilise les coordonnées cartésiennes dans la base <math>\left(\vec u(\theta_0),\vec v(\theta_0)\right)</math><ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.
Équations polaires paramétriques
Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :
- <math>\vec V = \dot r\vec u+ r\dot{\theta}\vec v</math> ;
- <math>\vec A = ( \ddot r-r \dot{\theta}^2)\vec u+ ( r \ddot{\theta} +2\dot r\dot{\theta}) \vec v</math>.
