Spirale
En géométrie plane, les spirales forment une famille de courbes d'allure similaire : une partie de la courbe semble s'approcher d'un point fixe tout en tournant autour de lui, tandis que l'autre extrémité semble s'en éloigner.
Une courbe plane dont l'équation polaire est du type <math>\rho = f(\theta)</math> où Modèle:Mvar est une fonction monotone est une spirale<ref>Modèle:Mathcurve</ref>.
On trouve aussi le terme de spirale pour des courbes en dimension trois qui tournent autour d'un axe en s'en éloignant ou s'en rapprochant comme les Modèle:Lien ou en restant à distance fixe comme l'hélice circulaire.
La forme de la spirale apparait dans de nombreux aspects de la nature. Elle a inspiré les artistes et les écrivains de toutes les époques.
En mathématiques
Spirales en dimension deux
Étudiées déjà au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle, comme le résultat d'un mouvement mécanique d'un point se déplaçant sur une droite qui tourne autour d'un pointModèle:Sfn, elles s'enrichissent de nouvelles courbes aux formes diverses rencontrées au gré des problèmes géométriques et physiques que se posent les mathématiciens.
Ainsi, il est difficile de trouver une définition générale d'une spirale. Les auteurs semblent s'accorder sur l'idée qu'il s'agit de la trajectoire d'un point tournant autour d'un centre tout en s'en éloignant (ou s'en rapprochant).
- Modèle:Citation
- Modèle:Citation
- Soit Modèle:Mvar une fonction croissante, la courbe d'équation polaire <math>\rho=f(\theta)</math> est une spirale<ref>D'après Modèle:Ouvrage.</ref>.
- Modèle:Citation
Une spire est alors la portion de courbe parcourue par le point quand il effectue un tour complet autour du centre.
| Spirale d'Archimède: elle démarre à l'origine et part vers l'infini en une infinité de spires régulièrement espacées | Spirale logarithmique: elle s'enroule infiniment vers l'origine et vers l'infini en une infinité de spires d'espacement croissant. | Une spirale algébrique dont l'équation polaire est <math>\rho=f(\theta)</math> où Modèle:Mvar est une fonction positive décroissante (<math> f(x)=\sqrt{x^2+16}-x</math>). L'enroulement des spires a changé de sens. |
Certains auteurs ajoutent des conditions supplémentaires : elles ne peuvent ni se fermer ni se terminer, une droite les coupe en une infinité de points<ref name="Bergery"/>, elles sont définies sur un intervalle non borné<ref name="MCSp"/>, elles sont de classe de régularité importante<ref>Par exemple, ce cours sur les courbes paramétrées, à la fin de la section «longueur et courbe», choisit de les prendre de classe CModèle:3</ref>. On les imagine parfois sans début ni fin, ou ayant une infinité de spires...Mais ni ces définitions, et encore moins ces restrictions ne peuvent couvrir l'ensemble des courbes que leur découvreurs ont appelées spirales.
| Spirale hyperbolique: elle possède une droite asymptote et certaines droites du plan ne la rencontrent pas | Une spirale algébrique dont l'équation polaire est <math>\rho=\frac{\theta}{\theta+1}</math> pour Modèle:Mvar positif. Elle démarre à l'origine et possède le cercle unité comme asymptote. | Spirale de Théodore formée de segments de droites qui n'est pas une courbe de classe C1 |
On trouve même des courbes portant le nom de spirale et ne respectant pas la condition première de s'éloigner constamment d'un point central. On trouve même des spirales tournant successivement autour de deux centres ou des courbes qui n'ont de spirale que le nom. L'étude des fractales offre aussi de beaux exemples de développements de spirales.
| Spirale de Fermat: les spires s'approchent puis s'éloignent du point central | Spirale de Cornu: elle s'enroule autour de deux centres | Une spirale de Cotes en forme d'épi | Ensemble de Julia: développement de fractale en spirale. |
Parmi les courbes définies par leur équation on distingue deux grandes familles principales de spirales<ref> Encyclopedia of Mathematics «Spirals»</ref> :
- les spirales algébriques dont l'équation polaire est une fonction algébrique de Modèle:Mvar et Modèle:Mvar
- les pseudo-spirales dont une équation intrinsèque est Modèle:Formule où Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont des réels donnés et Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont respectivement le rayon de courbure et l'abscisse curviligne de la courbe.
Dans la première famille, on trouve la spirale d'Archimède, la spirale de Fermat, la spirale hyperbolique, les spirales paraboliques, etc.
Dans la seconde famille, on trouve, entre autres, la spirale logarithmique, la spirale de Cornu, la développante du cercle. Cette famille est stable par développéeModèle:Sfn : la développée de la pseudo-spirale de paramètre Modèle:Mvar est une pseudo-spirale de paramètre Modèle:Sfrac.
On peut construire des spirales par morceaux à l'aide d'arcs de cercles ou de segments. Les spirales à centres multiples sont ainsi utilisée pour tracer des volutes. Les spirales tracées à l'aide de segments de droites sont des Modèle:Lien.
Des moyens mécaniques permettent aussi de construire des spirales : ainsi l'extrémité d'une corde enroulée autour d'un arbre et que l'on déroule en maintenant la corde tendue, dessine une spirale proche d'une développante du cercle.
Spirales en dimension trois
De nombreuses courbes gauches sont appelées des spirales ou des hélices (hélice vient du grec heliks signifiant spirale<ref>Modèle:Lien web</ref>) parce qu'elles semblent s'enrouler autour d'un axe en s'en éloignant, ou s'en rapprochant constamment. La projection orthogonale de ces courbes dans un plan perpendiculaire à l'axe dessine souvent une spirale plane (ou un cercle). Les solides de révolution sont propices au tracé de spirales sur leur surface. Parmi ces courbes, on distingue plusieurs grandes familles non disjointes, ni exhaustives.
- Les hélices
- Ce sont des courbes dont la tangente fait un angle constant avec un axe fixe. Dans cette famille, on trouve les hélices cylindriques dont la courbe se dessine sur un cylindre (dont l'hélice circulaire), les hélices coniques dont la courbe se dessine sur un cône et les hélices sphériques.
- Les Modèle:Lien
- Le cône de révolution se prête aisément à la construction de courbes dont la projection sur le plan de base est une spirale. Parmi celles-ci on trouve l'hélice conique ou conchospirale qui se projette sur une spirale logarithmique<ref>Modèle:Mathcurve</ref> et la spirale de Pappus conique qui se projette sur une spirale d'Archimède<ref>Modèle:Mathcurve</ref>.
- les spirales sphériques
- Des courbes tournant sur un hémisphère possèdent aussi souvent cet aspect de spirale. Parmi ces courbes, on peut citer les courbes suivantes : certaines clélies dont la spirale de Pappus sphérique, l'hélice sphérique dont les tangentes font un angle fixe avec l'axe de la sphère, les loxodromies (qualifiées parfois de spirales<ref> Voir par exemple Modèle:Ouvrage</ref>) dont les tangentes font un angle fixe avec les méridiens.
Dans la nature
On trouve des formes évoquant celles de la spirale dans toutes les échelles du vivant et du monde physique.
Le premier type d'occurrence est associé à une croissance combinée avec un mouvement tournant. La spirale est bien connue et bien visible dans les formes de coquilles d'escargots ou de gastéropodes qui se développent de manière orientéeModèle:Sfn - chaque espèce se répartissant majoritairement selon un type soit lévogyre (en regardant le coquillage la pointe placée en avant et l'ouverture en arrière, les spires tournent dans le sens trigonométrique) soit dextrogyre (les spires tournent dans le sens horaire). Les cornes de cervidés (tels celles des béliers et des antilopes) offrent de beaux développements spiralésModèle:Sfn.
La spirale est un peu moins voyante mais fréquente en botanique, avec par exemple la structure du chou romanesco ou de la pomme de pinModèle:Sfn, la disposition spiralée des graines du tournesolModèle:Sfn, ou le point d'insertion des feuilles sur la tige (l'angle dièdre passant par l'axe de la tige et deux points qui se succèdent est la divergence, valeur caractéristiques de l'espèce).
| Theba pisana de Camargue | Coquille lévogyre du Modèle:Lien | Un Hebridean noir mature avec les cornes en spirale | Fleur de tournesol. |
D'autres spirales sont issues de l'adaptation du vivant à l'environnement. Les animaux à queue comme le caméléon ou l'hippocampe enroulent leur appendice et on retrouve alors la spiraleModèle:Sfn comme on peut l'observer dans une corde enroulée posée au solModèle:Sfn. C'est la même forme que l'on peut observer chez des myriapodes. Les plantes grimpantes dessinent des spirales quand elles s'enroulent autour d'un tuteur ou lancent des vrilles pour s'y agripperModèle:Sfn. Le spirographe déploie ses filaments en spirales pour se nourrir et respirer<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. Pour construire sa toile, l'araignée procède à la construction successive de deux spiralesModèle:Sfn.
On retrouve cette courbe dans la trajectoire des animaux méfiants s'approchant de leur cibleModèle:Sfn. Asa Schaeffer voit même en elle la trajectoire naturelle d'un être vivant privé de ses moyens d'orientationModèle:Sfn,<ref>Modèle:Ouvrage</ref>. On observe également une organisation en spirale dans les rassemblements de rennesModèle:Sfn,<ref>Modèle:Lien web</ref> , de pingouins<ref>Modèle:Article</ref> ou dans les vortex de poissonsModèle:Sfn pour se protéger des prédateurs ou du froid. Ce comportement est à rapprocher des courbes de poursuites mutuelles étudiées en mathématiques.
| Mille-pattes enroulé en spirale d'Archimède | Vrilles de vigne | Toile d'araignée en spirale | Filaments d'un spirographe. |
La spirale est également présente dans le monde animal (certains tissus musculaires) et dans le monde microscopique chez certaines bactéries. Les bactéries spiralées sont souvent pathogènes pour divers animaux et certaines le sont pour l'homme (ex spirochètes responsables de la syphilis, ou bactéries du genre Borrelia responsables de la maladie de Lyme, ou chez les Campylobacter <ref name=Stuart1986>Stuart L. Hazell, drian Lee, Lynette Brady et William Hennessy (1986), Campylobacter pyloridis and gastritis: association with intercellular spaces and adaptation to an Environment of Mucus as Important Factors in Colonization of the Gastric Epithelium ; Journal of Infectious disease (J Infect Dis), 153 (4): 658-663. doi: 10.1093/infdis/153.4.658 (résumé)</ref>, Campylobacter pyloridis responsables d'ulcères de l'estomac. Chez ces bactéries, la morphologie spiralée est souvent associée à une motilité particulière, adaptées au mucus<ref name=Stuart1986/> ou à d'autres environnements mucilo-gélatineux (ex : intérieur de l'œil pour certaines borrélies). La forme spiralée (en tire-bouchon) et une motilité particulière de ces organismes semblent leur donner un avantage sélectif dans les environnements visqueux et mucilagineux<ref name=Stuart1986/>.
Dans des dimensions encore plus petites, l'ADN est lui-même spiralé (quand il n'est pas déroulé), mais il existe aussi chez les bactéries des ADN circulaires (en anneau).
| Cochlée (à droite) de l'oreille interne | Dessin en spirale d'une empreinte digitale | Forme hélicoïdale d'un tréponème pâle au microscope électronique | Structure 3D, de la macromolécule hélicoïdale de l'ADN, support de l'hérédité. |
La chimieModèle:Sfn et la physique, en particulier la mécanique des fluides et l'astrophysique présentent aussi des exemples de déploiement en spirale. La formation de tourbillons d'air ou d'eau ou les phénomènes météorologiques en offrent de nombreuses illustrationsModèle:Sfn,Modèle:Sfn ainsi que les galaxies spiralesModèle:Sfn.
| Tourbillon dans une bouteille d'eau | Tourbillon d'air autour d'une aile d'avion | Image satellitaire de la tempête Juan blanc | Galaxie spirale Messier 100. |
Technologie
La spirale possède des propriétés géométriques exploitées par plusieurs mécanismes créés par l'homme, par exemple le ressort spiral ou le disque microsillon. Modèle:...
Aspects culturels
Vocabulaire
En latin spira ou en grec ancien Modèle:Grec ancien / Modèle:Lang, ce mot désigne un enroulement.
Dans le langage courant, et notamment en dessin et en architecture les adjectifs spiral et spiralé désignent toutes les formes évoquant la spirale mathématique (escalier en spirale...) ou comprenant une suite de circonvolutions.
En art
Parmi les plus anciennes traces de spirales gravées par l'homme, on trouve une plaque d'ivoire décorée de spirales<ref>Modèle:Lien web</ref> provenant de la culture paléolithique de Mal'ta près d'Irkoutsk (environ Modèle:M mini- millénaire Modèle:Av JC), des baguettes ornées de spirales découverte dans la vallée d'Arudy et datant du magdalénien<ref>Modèle:Lien web</ref>,Modèle:Sfn, les spirales dessinées dans le cairn de Gavrinis (Modèle:M mini- millénaire Modèle:Av JC ), celles situées à l'entrée du tumulus de Newgrange (Modèle:M mini- millénaire Modèle:Av JC). La signification de ces dernières reste encore obscureModèle:Sfn même si la fréquence de la spirale et du triskèle dans l'art celte ultérieur comme le livre de Durrow ou le livre de Kells avec des symboliques variées (croissance, énergie, passage, arrivée et fin de vie) tend à lui donner une résonance religieuseModèle:Sfn. De même la signification de la spirale dessinée sur le disque de Phaistos datant du Modèle:M mini- millénaire Modèle:Av JC n'est pas encore trouvéeModèle:Sfn.
| Bloc d'entrée du tumulus de Newgrange (Modèle:M mini- millénaire Modèle:Av JC) | Détail du livre de Durrow | Symboles en spirale du disque de Phaistos (Modèle:M mini- millénaire Modèle:Av JC) |
Elle apparait comme élément figuratif, représentant la toison des béliers comme dans le temple d'Amon à NaqaModèle:Sfn (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle), symbolisant la végétation comme dans le pectoral scythe de Modèle:LienModèle:Sfn (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle), ou dans une représentation animalière comme le singe des géoglyphes de NazcaModèle:Sfn (entre le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle et le Modèle:Sap-).
| Toison en spirale d'un bélier du temple d'Amon | Pectoral scythe avec motifs en spirales | Lignes de Nazca: Le Singe |
Elle est aussi un élément décoratif dans les monuments comme dans la stupa de Sanchi en Inde (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle), les volutes des colonnes ioniques (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle) ou corinthiennes (Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle Modèle:Av JCModèle:Vérification siècle)Modèle:Sfn et dans les églises médiévalesModèle:Sfn.
L'architecture religieuse en fait un usage pour symboliser une ascension réelle ou spirituelle vers le ciel comme dans la mosquée de SamaraModèle:Sfn, les représentations de la tour de Babel de Cornelis Anthonisz, Pieter Brueghel l'Ancien ou Gustave Doré, les colonnes en spirales<ref>Modèle:Article</ref>, ou les clochers torsadés.
| Grande mosquée de Samarra | Pilier en spirale de la chapelle Rosslyn | Clocher tors de la maison du compagnonnage à Nantes |
Au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, avec la figura serpentinata du maniérisme, et plus encore au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle avec l'arrivée du baroque, la spirale évocatrice du mouvement prend de l'importance. Albrecht Dürer lui consacre plusieurs pages de son ouvrage Instructions pour la mesure à la règle et au compas , Léonard de Vinci l'utilise pour donner vie à des cheveluresModèle:Sfn ou au mouvement de l'eau, Pierre Paul Rubens en fait une structure dans ses tableauxModèle:Sfn.
| Léonard de Vinci, étude pour la chevelure de Leda | Léonard de Vinci, étude pour une destruction | Rubens, Vierge à l'Enfant et son tourbillon de saints Innocents |
Cette utilisation de la spirale pour figurer le mouvement de l'air et de l'eau se retrouve dans la peinture japonaise et se poursuit jusqu'au Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, par exemple chez Vincent van GoghModèle:Sfn et Nicolò Barabino
| Hokusai, La Grande Vague de Kanagawa | Van Gogh,La Nuit étoilée (1889) | Niccolo Barabino, La Gloire de saint André, GênesModèle:Sfn |
Durant le Modèle:S mini- siècleModèle:Vérification siècle, une importance plus grande est accordée à la science et à la géométrie dans le milieu artistiqueModèle:Sfn. Nombres d'artistes placent la spirale comme élément central de leurs œuvres la chargeant d'une symbolique forte : symbole de la vitesse et du possible chez les futuristesModèle:Sfn, symbole d'une expansion dévorante chez les vorticistesModèle:Sfn, socialisme grandiose et scientifique chez Vladimir TatlineModèle:Sfn,Modèle:Sfn , vision hypnotique et provocatrice dans les spirales de Marcel DuchampModèle:Sfn (rotorelief<ref>Modèle:Lien web</ref> et Anémic Cinéma) et chez les membres du mouvement de l'art cinétique<ref>Modèle:Lien web</ref>, symbolisme mystérieux dans l'arbre de vie de Gustav KlimtModèle:Sfn, cycle de la vie chez Jordi BonetModèle:Sfn,<ref>Modèle:Lien web</ref>, tentative de contrôle du chaos chez Louise BourgeoisModèle:Sfn,<ref>Modèle:Lien web</ref>, spirales aspirantes de Betty GoodwinModèle:Sfn, <ref>Modèle:Lien web</ref>, modèle de croissance de la cité chez Le Corbusier<ref name="Temporel">Modèle:Article</ref> et son projet de musée à croissance illimitée<ref>Modèle:Lien web</ref>, forme pure du mouvement chez Paul KleeModèle:Sfn, pessimisme de la Spiral Jetty de Robert SmithsonModèle:Sfn,Modèle:Sfn, transe hypnotique chez Friedrich Hundertwasser<ref name="Temporel"/>, spirales de Maurits EscherModèle:Sfn, de Johannes Itten Modèle:Sfn,<ref>Modèle:Lien web</ref>, de Bernard Réquichot ...
L'art déco en fait un élément de décor familier tant intérieur qu'extérieur<ref>Modèle:Lien web</ref>.
| Klimt, L'Arbre de Vie, Frise Stoclet | Smithson, Spiral Jetty vue du point Rozen | Tatline, Projet de monument pour la Troisième Internationale |
En littérature
La spirale s'invite aussi en littérature. Dante Alighieri décrit sa descente aux enfers comme un voyage en spirale de cercle en cercle<ref>Modèle:Article</ref>. Edgar Poe dans sa nouvelle Une descente dans le Maelstrom fait de ce phénomène une descente aux abîmes suscitant effroi et admiration<ref>Modèle:Article</ref> et dont on ressort transformé comme Modèle:Citation<ref>Modèle:Note autre projet, Modèle:P.</ref>. Ces deux expériences sont à rapprocher de l'expression « spirale infernale » indiquant un phénomène dans lequel on est entrainé et conduisant à une destruction.
Gustave Flaubert avait le projet d'une nouvelle La Spirale, inspirée par Les Paradis artificiels de Charles Baudelaire dans laquelle son héros Modèle:Citation provoqués par le haschich<ref>Modèle:Article, Modèle:P.</ref>.
Alfred Jarry, quant à lui, fait de la spirale de son père Ubu, un phénomène en expansion illustrant les appétits dévorants de son personnage, mais aussi sa vanité et son enflure<ref>Modèle:Lien web</ref>. Cette « Gidouille » devient le signe de reconnaissance des pataphysiciens.
La spirale est un élément central dans l’œuvre du poète William Butler Yeats (La seconde venue<ref>Modèle:Lire en ligne</ref> - A vision - l'Escalier en spirale ). Elle illustre la vision de Yeats sur l'évolution d'une vie, ou plus généralement de l'histoire de l'humanité, qui procèderait en spires successives sur une double escalier conique se rétrécissant et s'élargissantModèle:Sfn.
Elle est une symbolique puissante chez James Joyce (UlysseModèle:Sfn - Finnegans WakeModèle:Sfn) à tel point que Constantin Brancusi utilise cette image pour représenter Joyce (Symbole de Joyce<ref>Modèle:Lien web</ref>), ou chez Samuel Beckett (L'Innommable<ref>Modèle:Lien web, §.18</ref>) comme une vision concentrique vers un anéantissementModèle:Sfn.
Chez les philosophes comme Hegel et son KreislaufModèle:Sfn ou Roland Barthes<ref>Modèle:Citation, Roland Barthes, «Réquichot et son corps», dans Bernard Réquichot, Édition de la connaissance, 1973 - cité dans Modèle:Harvsp</ref>, elle illustre une conception de l'histoire ou du monde. La didactique utilise l'image d'une progression en spirale<ref>Modèle:Lien web</ref> pour évoquer le principe de revenir sur une notion en cercles successifs à des niveaux croissants de connaissance et de maîtrise.
Divers
- La spirale est un motif fréquent dans la décoration (frises, bijoux, tissus, dessins, tatouages, carrelages, etc.).
- Regarder une spirale qui tourne provoque un effet d'optique, qui fascine et est réputé faciliter l'hypnose. C'est un thème souvent exploité dans les dessins animés.
- En bande dessinée, les yeux d'un personnage dessinés en spirale évoquent — selon le contexte — la confusion du personnage, le fait qu'il soit sonné, fou, etc.
- Un manga d'horreur Modèle:Lang de Junji Itō appelé Modèle:Lang (spirale en japonais) a pour thème l'obsession des spirales.
- La spirale est utilisée dans la série américaine Teen Wolf pour désigner la vengeance d'un loup-garou. Peter Hale l'utilise dans la saison 1 pour se venger de Kate Argent. Elle est également utilisée dans la saison 3A.
- Le sound system britannique Spiral Tribe doit son nom à l'un de ses fondateurs, Mark Harrison, fasciné par la symbolique de la spirale.
Bibliographie
- Modèle:Ouvrage
- traduit de l’original en espagnol de 1899, revu et très augmenté. Réédition: dans les Obras sobre Matemática, Modèle:Nobr rom, 1908–1915; Chelsea Publishing Co, New York, 1971; Éditions Jacques Gabay, Paris, 1995 Modèle:Lire en ligne.
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