Établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell

L'équation de propagation d'une onde électromagnétique peut se calculer à partir des équations de Maxwell.

Hypothèses préalables

Supposons que le milieu soit linéaire, homogène, non magnétique et isotrope (L.H.I.). Dans ce cas :

<math>\vec{B} = \mu \vec{H} \,</math> et <math>\vec{D} = \epsilon \vec{E} \,</math>

où <math>\mu = \mu_0 \ \mu_r \,</math> désigne la perméabilité magnétique et <math>\epsilon = \epsilon_0 \ \epsilon_r \,</math> est la permittivité diélectrique.

Supposons également que ces deux coefficients et la densité de charge électrique <math>\rho</math> ne dépendent pas des variables spatiales (ni temporelles).

Formulation des relations

Exprimées à l’aide du champ électrique <math>\vec{E}</math> et du champ magnétique <math>\vec{H}</math>, les équations dites de Maxwell dans les milieux continus prennent la forme locale suivante :

1. <math>\vec{\mathrm{rot}}\ \vec{E} \ = \ - \mu \ \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}</math>
2. <math>\mu \ \mathrm{div}\ \vec{H} \ = \ 0</math>
3. <math> \vec{\mathrm{rot}} \ \vec{H} \ = \vec{j} \ + \ \epsilon \ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}</math>
4. <math>\epsilon \ \mathrm{div}\ \vec{E} \ = \ \rho</math>

Équation relative au champ électrique Modèle:Math

Pour éliminer le champ magnétique <math>\vec H</math> entre les relations 1 et 3, il s’agit d’appliquer le rotationnel à la première et de dériver la troisième par rapport au temps. À l’aide des hypothèses et grâce au théorème de Schwarz permettant de permuter les opérateurs différentiels spatiaux et temporels, il vient alors

<math>\vec{\mathrm{rot}} \ \vec{\mathrm{rot}} \ \vec{E} \ + \ \mu \ \frac{\partial}{\partial t} \ \left(\vec{j} \ + \ \epsilon \ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) = 0.</math>

L’identité des opérateurs vectoriels <math>\ \vec{\mathrm{rot}}\ \vec{\mathrm{rot}}\ \vec{E} = \vec{\mathrm{grad}} \ \mathrm{div} \vec{E} \ - \ \Delta\vec{E} \ </math> conduit ensuite à la relation

<math>\Delta\vec{E} \ - \ \mu \ \epsilon \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \ \mu \ \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} \ + \ \vec{\mathrm{grad}} \ \mathrm{div} \vec{E}</math>

et la relation 4 implique finalement

<math>\Delta\vec{E} \ - \ \mu \ \epsilon \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \ \mu \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} \ + \ \frac{1}{\epsilon} \ \vec{\mathrm{grad}} \ \rho .</math>

Équation relative au champ magnétique Modèle:Math

Par un traitement semblable, en appliquant le rotationnel à la relation 3 et en dérivant la première par rapport au temps, il vient

<math>\Delta\vec{H} \ - \ \mu\ \epsilon \ \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} = \ - \ \vec{\mathrm{rot}}\ \vec{j} .</math>

Application à divers milieux

Dans les isolants ou dans le vide

La densité de courant est nulle et la densité de charge est constante. Ainsi :

<math>\Delta\vec{E} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0} ,</math>

<math>\Delta\vec{H} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} = \vec{0} ,</math>

qui sont deux équations de d'Alembert dont les ondes se propagent à la vitesse <math>v</math> définie par <math>\epsilon \ \mu \ v^2=1</math>.

Dans le vide (<math>\mu = \mu_0</math> et <math>\epsilon = \epsilon_0</math>), la vitesse de phase est celle de la lumière puisque <math>\epsilon_0 \ \mu_0 \ c^2=1</math>.

Le découplage entre champs magnétique et électrique dans ces deux dernières équations n’est qu’apparent : les deux champs restent en effet liés par les équations de Maxwell (relations 1 et 3 ci-dessus).

Solutions

Les équations de d’Alembert possèdent comme solutions des ondes planes harmoniques : partant d’une pulsation <math>\omega</math> et d’un vecteur d'onde <math>\vec{k}</math> de norme notée <math>k</math>, la fonction scalaire

<math>u(\vec{x},t) = e^{i ((\vec{k}, \vec{x}) - \omega t)}</math>

permet de définir des champs

<math>\vec{H}(\vec{x},t) = u(\vec{x},t) \vec{H}_0</math>

<math>\vec{E}(\vec{x},t) = u(\vec{x},t) \vec{E}_0</math>

qui sont solutions lorsque <math>k \, v = \omega.</math>

Les équations de Maxwell imposent par ailleurs l’orthogonalité des 3 vecteurs :

<math>(\vec{E}, \vec{H}) = (\vec{k}, \vec{E}) = (\vec{k}, \vec{H}) = 0</math>

et le rapport des carrés des normes des champs satisfait

<math>\mu \ ||H||^2 = \epsilon \ ||E||^2.</math>

Modèle:Démonstration{\partial t} \ = \ - \ i \ \omega \ u \ \vec{E}_0,</math>

<math>\vec{\mathrm{rot}}\ \vec{E} \ = \ i \ u \ \vec{k} \wedge \vec{E}_0,</math>

<math>\mathrm{div}\ \vec{E} \ = \ i \ u \ (\vec{k}, \vec{E}_0),</math>

les équations de Maxwell (1 à 4) impliquent respectivement

1. <math>\vec{k} \wedge \vec{E}_0 \ = \ - \ \mu \omega \vec{H}_0</math>
2. <math>\mu \ (\vec{k}, \vec{H}_0) \ = \ 0</math>
3. <math>\vec{k} \wedge \vec{H}_0 \ = \ \epsilon \ \omega \vec{E}_0</math>
4. <math>\epsilon \ (\vec{k}, \vec{E}_0) \ = \ 0</math>

lorsque <math>\vec{j} = \vec{0}</math> et <math>\rho = 0,</math> d’où l’orthogonalité des 3 vecteurs.

L’égalité relative aux carrés des normes découle de 1 et de <math>k^2 = \mu \ \epsilon \ \omega^2.</math> }}

Dans les conducteurs ohmiques

La loi d'Ohm est la relation phénoménologique liant la densité de courant au champ électrique :

<math>\vec{j} = \sigma_{\Omega} \vec{E},</math>

<math>\sigma_{\Omega}</math> étant la conductivité électrique (qui est l’inverse de la résistivité).

En supposant que la densité de charge reste constante, les équations de propagation s’écrivent alors

<math>\Delta\vec{E} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \ - \ \sigma_{\Omega} \ \mu \ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = 0,</math>

<math>\Delta\vec{H} \ - \ \frac{1}{v^2} \ \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} \ - \ \sigma_{\Omega} \ \mu \ \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} = 0.</math>

Solutions

Ces équations possèdent des solutions qui sont des ondes planes amorties, en particulier des ondes harmoniques dont l’amplitude est exponentiellement décroissante : en effet, l’onde s’atténue au fur et à mesure qu’elle se propage dans le milieu conducteur.

Partant d’une pulsation <math>\omega</math>, d’un vecteur d’onde <math>\vec{k}</math> de norme <math>k</math> et un facteur d’amortissement <math>\lambda</math>, la fonction scalaire

<math>u(\vec{x},t) = e^{- \lambda (\vec{k}, \vec{x})} \cdot e^{i ((\vec{k}, \vec{x}) - \omega t)}</math>

est solution de l’équation aux dérivées partielles à condition de respecter deux relations liant respectivement <math>k</math> et <math>\lambda</math> à <math>\omega</math>.

Comme dans le cas d’un milieu isolant, il existe des choix de champs proportionnels à <math>u(\vec{x},t)</math> qui satisfont les équations de Maxwell : ceux-ci respectent encore l’orthogonalité des 3 vecteurs.

Le rapport des carrés des normes des champs satisfait finalement

<math>\mu \ ||H||^2 = \epsilon \left(1 + \frac{\sigma_{\Omega}^2}{\epsilon^2 \ \omega^2} \right)^\frac{1}{2}\ ||E||^2.</math>

Articles connexes

• Équations de Maxwell
• Équations des télégraphistes
• Électrodynamique des milieux continus
• Équation de d'Alembert
• Propagation des ondes