Théorème de Schwarz

{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Modèle:Confusion Le théorème de Schwarz ou de Clairaut<ref>En France et en Belgique, il est parfois appelé théorème de Clairaut. Cf. Modèle:Ouvrage.</ref> est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Sous certaines hypothèses, il dit que l'ordre des deux dérivations : dériver par rapport à la variable y d'abord, puis par rapport à une variable x revient au même que dériver par rapport à la variable x d'abord puis par rapport à la variable y. Autrement dit :

<math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(a)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)(a)</math>

Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861Modèle:Référence nécessaire auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

Énoncé

La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :

<math>\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)(a)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)(a)</math>.

Ce théorème est parfois appelé par les anglophones Modèle:Citation étrangère (théorème de Young), nom qui désigne également une extension aux dérivées d'ordre supérieur<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Un contre-exemple

Fichier:Graph001.png

La fonction Modèle:Math ne possède pas de dérivée seconde en Modèle:Math.

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873Modèle:Référence nécessaire. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>. Il s'agit de la fonction définie par :

<math>f\left(x,y\right)=\begin{cases}\frac{xy\left(x^2-y^2\right)}{x^2+y^2}&\text{si }\left(x,y\right)\ne\left(0,0\right)\\0&\text{sinon,}\end{cases}</math>

qui vérifie

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}\left(0,0\right)=-1\quad\text{tandis que}\quad\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\left(0,0\right)=1</math><ref>Ce contre-exemple est détaillé sur Wikiversité Modèle:Infra.</ref>.

Application aux formes différentielles

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où Modèle:Math est de classe C² :

<math>\mathrm df = a(x,y)\,\mathrm dx + b(x,y)\,\mathrm dy.</math>

Alors,

<math>a(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\text{ et }b(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x, y).</math>

En appliquant le théorème de Schwarz, on en déduit :

<math>\frac{\partial b}{\partial x}(x, y)=\frac{\partial a}{\partial y}(x, y).</math>

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension n : Modèle:Énoncé ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme Modèle:Math, s'écrit :

<math>\text{si }\omega=\mathrm df\text{ alors }\mathrm d\omega:=\sum_{i<j}\left(\frac{\partial \omega_j}{\partial x_i}-\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j}\right)\mathrm dx^i\wedge\mathrm dx^j=0.

</math> Modèle:Démonstration

Voir aussi

Articles connexes

Lemme de Poincaré

Liens externes

• Modèle:Autorité
• Modèle:Bases
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