Anneau topologique

En mathématiques, un anneau topologique est un anneau muni d'une topologie compatible avec les opérations internes, c'est-à-dire telle que l'addition, l'application opposée<ref>La continuité de l'application opposée est automatiquement vérifiée si l'anneau est unitaire.</ref> et la multiplication soient continues.

Un corps topologique est un corps muni d'une topologie qui rend continues l'addition, la multiplication et l'application inverse<ref>Il existe toutefois des anneaux topologiques qui sont des corps sans satisfaire cette dernière condition.</ref>.

Ces structures étendent la notion de groupe topologique.

Exemples

• Tous les corps de nombres usuels (rationnels, réels, complexes, p-adiques) ont une ou plusieurs topologies classiques qui en font des corps topologiques. Il s'agit essentiellement des topologies induites par la distance usuelle ou la distance p-adique.
• L'ensemble des applications d'un ensemble <math>X</math> vers un anneau topologique constitue un anneau topologique pour la topologie de la convergence simple. Lorsque l'ensemble <math>X</math> est lui-même un espace topologique, le sous-anneau des fonctions continues est un anneau topologique pour la topologie compacte-ouverte.
• Toute algèbre normée est un anneau topologique.
• Tout sous-anneau d'un anneau topologique est un anneau topologique pour la topologie induite.
• Tout anneau muni de la topologie discrète ou de la topologie grossière constitue un anneau topologique.

Topologie I-adique

Étant donné un anneau commutatif <math>R</math> et un idéal <math>I</math> de <math>R</math>, la topologie <math>I</math>-adique de <math>R</math> est définie par la base de voisinages en chaque point <math>x</math> de <math>R</math> de la forme : <math>x + I^n</math>, où <math>n</math> décrit tous les entiers naturels.

Cette topologie fait de l'anneau <math>R</math> un anneau topologique, qui est séparé si et seulement si l'intersection des puissances de l'idéal <math>I</math> est réduite à l'élément nul :

<math>\bigcap_{n\in\N}I^n=\{0\}</math>.

Dans ce cas, la topologie est métrisable par une distance ultramétrique définie de la manière suivante :

pour tous <math>x</math> ≠ <math>y</math> éléments de <math>R</math>,

<math>d(x,y)=1/2^k</math>

où <math>k</math> est la plus grande puissance de l'idéal qui contient la différence <math>x-y</math>.

La topologie p-adique sur les entiers relatifs est ainsi construite avec l'idéal <math>I</math> des multiples entiers de <math>p</math>.

Complétion d'un anneau métrisable

Lorsqu'un anneau topologique est métrisable, les opérations s'étendent continûment (de façon unique) à sa complétion métrique, qui devient ainsi son Modèle:Lien.

Notes

<references />