Application contractante

Modèle:Homon En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante<ref name=B>Modèle:Ouvrage. </ref><ref>Modèle:Demailly1, Modèle:P., Modèle:Google Livres.</ref>, ou contraction<ref name=YW>Modèle:Ouvrage.</ref>, est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une [[application lipschitzienne|application Modèle:Math-lipschitzienne]] avec Modèle:Math. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.

Définition et exemples

Une application f d'un espace métrique (E, d) dans lui-même est dite k-contractante si 0 ≤ k < 1 et si, pour tout couple de points x et y de E, d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y). Elle est dite contractante si elle est k-contractante pour une certaine constante k.

Un endomorphisme d'espace vectoriel normé dont la norme est strictement inférieure à 1 (ou une application affine associée à un tel endomorphisme) est une application contractante. L'exemple le plus simple est celui d'une homothétie de rapport λ avec |λ| < 1.

Plus généralement, l'inégalité des accroissements finis permet de montrer qu'une fonction dérivable de dérivée bornée en norme par k < 1 est contractante ; c'est par exemple le cas sur R de l'application <math>x \mapsto (x+ \sin x)/3</math>, avec k = 2/3.

Théorème du point fixe pour une application contractante

La preuve classique<ref name=B/><ref name=YW/><ref name=Wikiversité>Modèle:Note autre projet</ref> consiste essentiellement à montrer que pour toute suite vérifiant <math>x_{n+1}=f(x_n)</math>, on a <math>d(x_n,x_{n+p})\le\frac{k^n}{1-k}\ d(x_0,x_1)</math>.

Ce théorème est souvent mentionné comme le théorème du point fixe de Banach — qui l'a énoncé en 1920 dans le cadre de la résolution d'équations intégrales<ref>Modèle:Article, reproduit dans Travaux de Stefan Banach, p. 305-348 (thèse présentée en juin 1920 à l'université de Lviv), chap. II, § 2, Théorème 6.</ref> — ou théorème du point fixe de Picard<ref name=B/>.

Corollaire pour une application dont une itérée est contractante

Le corollaire suivant est utilisé dans certaines preuves du théorème de Cauchy-Lipschitz<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>, ce qui dispense des précautions de la preuve usuelle<ref>Modèle:Ouvrage (trad. de l'éd. en russe de 1954).</ref>, destinées à se placer dans une situation où l'application Modèle:Math est contractante. Modèle:Théorème

Remarque

Comme dans le théorème, la convergence de la suite est au moins géométrique (de raison k^1/q si Modèle:Math est k-contractante).

Approximations successives

Ces résultats donnent un algorithme de calcul du point fixe (c'est la « méthode des approximations successives<ref>Modèle:Harvsp.</ref> ») contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus, l'énoncé donne un majorant de l'erreur. Modèle:Section à sourcer Remarquons que dans le théorème principal, si l'on note Modèle:Math la constante de Lipschitz de Modèle:Math, on a majoré Modèle:Math par Modèle:Math. Modèle:Refnec, ce qui explique que la majoration précédente de Modèle:Math soit souvent pessimiste. En faisant sur Modèle:Math une hypothèse un peu plus forte que celle du corollaire ci-dessus, mais pas autant que celle du théorème, on peut aboutir à de meilleures majorations (par exemple dans le cas de la résolution des équations différentielles) : si, pour tout entier Modèle:Math, l'application Modèle:Math est Modèle:Math-lipschitzienne et si la série de terme général Modèle:Math est convergente — ce qui permet d'appliquer le corollaire puisque k_q < 1 pour q assez grand — alors, en notant comme précédemment Modèle:Math le point fixe de Modèle:Math et Modèle:Math (pour un point arbitraire x₀ de E),

<math>\forall n\in\N\quad d(x_n,x^*) \leq \left(\sum_{i=n}^{\infty}k_i\right)d(x_0,x_1).</math>

Applications classiques

• Résolution d'équations numériques, voir notamment méthode de Newton
• Résolution approchée de systèmes linéaires par itération
• Résolution d'équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz
• Théorème des fonctions implicites
• Application à la définition de l'attracteur d'un système de fonctions itérées

Articles connexes

• Application non expansive
• Théorème du point fixe de Caristi