Autonombre

En arithmétique, un autonombre ou nombre colombien<ref name=MathWorld>Modèle:MathWorld.</ref> est un entier naturel qui, dans une base donnée, ne peut pas s'écrire sous la forme d'un nombre ajouté à la somme des chiffres de ce nombre.

Exemples

15 n'est pas un autonombre, puisqu'il peut être généré par la somme de 12 et de ses chiffres : 15 = 12 + 1 + 2.

20 est un autonombre car il n'existe pas une telle somme pour 20.

Digitaddition

La notion d'autonombre est introduite en 1949 par le mathématicien indien Dattatreya Ramachandra Kaprekar lorsqu'il s'intéresse à une transformation sur les nombres qu'il appelle une digitaddition : ajouter au nombre la somme de ses chiffres.

Par exemple S(21) = 21 + 1 + 2 = 24.

On dit que 24 est généré par 21.

La suite qui à chaque entier naturel associe le nombre de ses générateurs est la Modèle:OEIS.

La suite des entiers strictement positifs qui ont au moins un générateur est la suite Modèle:OEIS2C ; le plus petit entier qui a plusieurs générateurs est 101 = 100 + 1 + 0 + 0 = 91 + 9 + 1.

Kaprekar appelle autonombres les entiers de la suite complémentaire : ceux qui n'ont pas de générateur.

Le fait d'être un autonombre ou non est lié à la base dans laquelle le nombre est écrit. Par exemple, le nombre 11, écrit en base dix, est un nombre généré par 10 alors qu'écrit en base 5 (Modèle:Surligner⁵), il est un autonombre.

Autonombres en base dix

La suite des autonombres en base dix est 1, 3, 5, 7, 9, 20, 31Modèle:Etc. (Modèle:OEIS). Les seuls inférieurs à 100 sont les entiers impairs inférieurs à 10 et les entiers congrus à 9 modulo 11.

La sous-suite des autonombres premiers est 3, 5, 7, 31, 53, 97, 211Modèle:Etc. (suite Modèle:OEIS2C).

Autonombres en base 2

La relation de récurrence suivante permet de construire une infinité d'autonombres en base 2 (mais pas tous).

Partant du nombre 1, ajouter le chiffre 1 à gauche dans l'écriture du nombre puis ajouter 1 au nombre obtenu. On obtient successivement 1, 11 + 1 = 110, 1110+1 =1111, 11111+1 = 100000.

Les neuf premiers autonombres en base 2 sont 1, 100, 110, 1101, 1111, 10010, 10101, 10111 et 11110.

En 1982, Modèle:Lien prouve que la densité asymptotique des autonombres en base 2 existe et est strictement positive<ref>Modèle:Article.</ref> puis, avec G. Troi<ref>Modèle:Article.</ref>, qu'elle est égale à

<math>\frac 18 \left(\sum_{n \in S}\frac 1{2^n}\right)^2 \approx 0,25266026</math>

où S est l'ensemble des nombres pouvant s'écrire comme somme de termes distincts de la forme 2^k + 1 avec k entier naturel.

Ils en déduisent que cette densité est un nombre irrationnel et même — en utilisant le théorème du sous-espace de Wolfgang Schmidt — transcendant<ref>Modèle:Article.</ref>.

Autonombres en base quelconque

Suite récurrente

En toute base b > 2, la suite définie par récurrence ci-dessous produit une infinité d'autonombres en base b (mais pas tous)<ref name=MathWorld/> :

<math>C_1 =\begin{cases}b - 1&\text{si }b\text{ pair}\\b-2&\text{si }b\text{ impair}\end{cases}\quad\text{et }C_k = (b - 2)b^{k - 1} + C_{k - 1} + (b - 2).</math>

Autonombres en base impaire

En 1973, Joshi prouve que n est un autonombre en base b impaire si et seulement si n est impair<ref name=MathWorld/>. Il est facile de montrer que si n est impair alors n est un autonombre mais la réciproque est plus délicate.

Autonombres en base paire

En 1991, Patel prouve qu'en base b paire supérieure ou égale à 4, les entiers 2b, 4b + 2 et (b + 1)² sont toujours des autonombres<ref name=MathWorld/>.