Bissectrice
En mathématiques, de façon informelle, une bissectrice est une demi-droite qui coupe un angle en deux angles égaux. Cette notion peut être généralisée en nommant ainsi la droite qui se superpose à la demi-droite.
Définition
La bissectrice d'un angle<ref>Modèle:Ouvrage.</ref> le partage en deux secteurs angulaires superposables. C'est une demi-droite issue du sommet du secteur angulaire.
Remarque : Il peut être commode de décider d'appeler bissectrice tout l'axe et pas seulement la demi-droite contenue dans le secteur angulaire.
Théorème de la bissectrice
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
Réciproquement, un point équidistant des côtés de l'angle est sur la bissectrice de cet angle. on peut donc énoncer:
Modèle:Théorème
Corollaire : La bissectrice Modèle:Math d'un angle Modèle:Mvar est le lieu des centres des cercles tangents aux côtés Modèle:Math et Modèle:Math de cet angle.
Applications :
- Ce résultat permet de justifier la construction au compas de la bissectrice.
- Il prouve l'existence du point d'intersection des bissectrices d'un triangle, qui se rencontrent au centre du cercle inscrit.
Construction géométrique
Comme conséquence du théorème de la bissectrice, voici une méthode de construction à la règle et au compas de la bissectrice d'un angle Modèle:Refnec
- Pointer le compas au sommet de l'angle et tracer un premier arc de cercle. Marquer les points d'intersection de cet arc avec les deux côtés de l'angle.
- Pointer successivement le compas aux points d'intersection tracer deux arcs de cercle de même rayon (en gardant le même écartement du compas entre les deux opérations). Marquer le point d'intersection de ces deux arcs.
- Relier le sommet de l'angle et le point d'intersection des deux derniers cercles et vous avez tracé la bissectrice de l'angle.
Bissectrices de deux droites sécantes
Les bissectrices d'un couple de droites sécantes sont par définition les bissectrices des quatre secteurs angulaires définis par les deux droites. Il y a donc stricto sensu quatre bissectrices pour deux droites, si on s'en tient à la première définition de bissectrice. Au cours de la preuve du théorème suivant on montre que ces quatre bissectrices sont portées par deux droites qu'on appellera bissectrices des droites sécantes. Modèle:Énoncé=\pm\frac{a'x + b'y + c'}{\sqrt{a'^2+b'^2}}</math>}} Modèle:Théorème Modèle:Démonstration
On obtient ainsi la notion de bissectrice de deux droites affines sécantes sans passer par le point de vue naïf des angles géométriques. Le produit scalaire Modèle:Math est nul comme Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont unitaires : les deux bissectrices sont orthogonales.
Bissectrices d'un triangle
Le segment de bissectrice intérieur au triangle, issu d'un sommet (A par exemple) a pour longueur <math>AJ=\frac{2 b c \cos(\widehat A/2)}{b+c}</math>.
Comme <math>\frac{AI}{IJ}=\frac{b+c}a</math>, <math>AI=\frac{2 b c \cos(\widehat A/2)}{a+b+c}</math> <ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
L'angle formé par deux bissectrices intérieures <math>\widehat{BIC}</math> (par exemple) est égal à <math>\frac{\pi + \widehat A}{2}</math>.
L'angle formé par deux bissectrices extérieures <math>\widehat{BI_AC}</math> (par exemple) est égal à <math>\frac{\pi - \widehat A}{2}</math>.
Particularité : dans un triangle ABC, la bissectrice intérieure issue d'un sommet (C) recoupe la médiatrice du segment opposé ([AB]) en un point S sur le cercle circonscrit.
Le cercle de centre S passant par A (et B) passe aussi par le centre du cercle inscrit à ABC.
Une preuve par le théorème de Thalès est donnée dans la page sur les divisions harmoniques. Le calcul de deux manières des aires des triangles CAI et CBI donne une autre démonstration élémentaire.
On peut alors calculer les longueurs des segments que la bissectrice intérieure issue de C découpe sur le côté opposé : <math> \frac {IA}{CA} = \frac{IB}{CB} = \frac{IA+IB}{CA + CB} = \frac {AB} {CA+CB} </math>. On obtient : <math> IA = \frac{AB \cdot CA}{CA+CB}=\frac{bc}{a+b} </math> et <math> IB = \frac {AB \cdot CB}{CA+CB}=\frac{ac}{a+b} </math>.
Le théorème de Stewart permet alors d'obtenir la longueur du segment de bissectrice : <math>CI^2=\frac{4ab(p-c)p}{(a+b)^2}</math> où p est le demi-périmètre.
Applications
- On utilise extensivement la caractérisation précédente de la bissectrice dans l'étude du problème d'Apollonius : lieu des M tels que MA/MB = k.
- Avec cette caractérisation de la bissectrice, on retrouve aisément la bissectrice d'un angle MFN, où M et N sont deux points sur une ellipse (plus généralement, conique propre) de foyer F et de directrice D et la construction de la tangente en un point d'une conique<ref>Modèle:Harvsp.</ref>.
Notes et références
Voir aussi
Article connexe
Bibliographie
- Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 Modèle:ISBN
