Circuit RL
{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Un circuit RL est un circuit électrique contenant une résistance et une bobine ; il est utilisé dans diverses applications, comme filtre passe-bas ou passe-haut, ou dans les convertisseurs de courant continu. Contenant deux composants, il se décline en deux versions différant dans la disposition des composantes (série ou parallèle).
Circuit série
Le circuit en série est analysé avec la loi des mailles pour donner :
- <math>U = U_R + U_L</math>
Régime transitoire
Dans le régime transitoire :
- <math>U_R = R_t I,\quad U_L = L{\mathrm dI\over \mathrm dt}</math>
L'équation différentielle qui régit le circuit est alors la suivante :
- <math>U = L{\mathrm dI\over \mathrm dt}+R_t I</math>
Avec :
- Modèle:Mvar la tension aux bornes du montage, en V ;
- Modèle:Mvar l'intensité du courant électrique en A ;
- Modèle:Mvar l'inductance de la bobine en H ;
- Modèle:Mvar la résistance totale du circuit en Ω.
La solution générale, associée à la condition initiale Modèle:Math, est :
- <math>I_{\mathrm{bobine}} = {U\over R_t}(1 - \mathrm{e}^{-{t\over\tau}})</math>
- <math>\tau = {L\over R_t}</math>
Avec Modèle:Mvar la constante de temps du circuit, en s.
C'est la constante de temps Modèle:Mvar qui caractérise la « durée » du régime transitoire. Ainsi, le courant permanent est établi à 1 % près au bout d'une durée de <math>4.6\tau</math>.
Lorsque le courant devient permanent, l'équation se simplifie en Modèle:Mvar car Modèle:Math.
Régime sinusoïdal permanent
Dans une analyse spectrale en régime sinusoïdal permanent, il faut considérer les impédances des composants en fonction de la pulsation :
- <math>Z_R(\omega) = R,\quad Z_L(\omega) = j L \omega = 2\pi j L f </math>
où Modèle:Mvar est la pulsation en rad.s-1, Modèle:Mvar est la fréquence en s-1 et Modèle:Mvar désigne l'unité imaginaire, telle que Modèle:Math.
On pose Ue = U la tension entrant dans le quadripôle et Us la tension sortant du quadripôle. On a deux possibilités pour l'expression de Us :
- <math>U_s = U_R = {Z_R\over Z_R+Z_L}U_e = {R\over R+jL\omega}U_e</math>
- <math>U_s = U_L = {Z_L\over Z_R+Z_L}U_e = {jL\omega\over R+jL\omega}U_e</math>
On note HR(ω) et HL(ω) les fonctions de transfert de chaque cas respectif.
Analyse fréquentielle
- <math> H_L(\omega) = { V_L(\omega) \over U_e(\omega) } = { j{L\over R}\omega \over 1 + j{L\over R}\omega }</math>
La fonction de transfert peut s'écrire <math> H_L(\omega)=G_L \mathrm{e}^{j\varphi _L} </math> où Modèle:Mvar est le gain et Modèle:Mvar, la phase.
Ainsi, <math>H_L(\omega)=G_L\mathrm{e}^{j \varphi _L}</math>avec :
- <math> G_L = \frac {{\frac{L}{R}} \omega}{\sqrt{1+(\frac{L}{R} \omega)^2}} </math>
- <math> \varphi_L =\arg(H)=\frac \pi 2 -\arctan \left(\frac L R \omega\right) </math>
Quand Modèle:Mvar tend vers 0 :
- <math>H_L \approx j \frac L R \omega\ \textrm{ donc }\ G_L \to 0 \ \textrm{ et }\ \varphi _L \to \frac \pi 2 </math>
Quand Modèle:Mvar tend vers l'infini :
- <math>G_L \to 1 \ \textrm{ et }\ \varphi_L \to 0</math>
Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur la bobine le comportement est du type filtre passe-haut : les basses fréquences sont atténuées et les hautes fréquences passent.
