Conjecture d'Euler
La conjecture d'Euler est une conjecture mathématique de théorie des nombres, réfutée, mais qui a été originellement proposée par le mathématicien suisse Leonhard Euler en 1772<ref name=Dickson/>,<ref name=EulerNet>Cf. {{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} EulerNet: Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers et son lien vers une page détaillée.</ref>, et qui s'énonce de la façon suivante :
En d'autres termes, et de manière plus formelle :
Historique
Euler percevait cet énoncé comme une généralisation de la conjecture de Fermat, à savoir que pour tout entier n strictement supérieur à 2, la somme de deux puissances n-ièmes n'est pas une puissance n-ième. Les deux énoncés coïncident pour n = 3. Euler ajouta<ref name=Dickson>Modèle:Dickson1, Modèle:Nobr, p. 648, citant E716 (1778). Dickson mentionne aussi (note 165) E428 (1772) et (note 167) E776 (1780)</ref> que Modèle:Citation
La conjecture d'Euler fut infirmée par L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966<ref>Modèle:Article</ref> grâce au contre-exemple suivant :
- <math>27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5.</math>
En 1988, Noam Elkies trouva même une méthode<ref>Modèle:Article</ref> pour construire des contre-exemples lorsque n = 4. Son plus simple contre-exemple fut le suivant :
- <math>2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4</math>.
Par la suite, Roger Frye trouva le plus petit contre-exemple possible pour n = 4 en utilisant, avec un ordinateur, des techniques suggérées par Elkies :
- <math>95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4</math>.
En 2020, aucun contre-exemple n'est connu pour n > 5<ref>Selon le mathématicien Florent Nacry. Exposé dans le cadre de la semaine des mathématiques du 9 au 13 mars à l'UPVD Lire en ligne Page 37</ref>.
Sommes de n puissances n-ièmes
Dans ce cas (correspondant à la résolution d'équations diophantiennes de la forme <math>m^4+n^4+p^4+q^4=r^4</math>), il semble y avoir toujours des solutions, souvent en nombre infini.
Modèle:Math
On obtient les triplets pythagoriciens, par exemple <math>3^2+4^2=5^2</math>, et plus généralement <math>(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2</math>.
Modèle:Math
Modèle:Math (nombre de Platon 216) ; c'est le cas correspondant à a = 1, b = 0 de la formule due à Srinivasa Ramanujan<ref name="Weisstein">Modèle:Mathworld</ref> :<math>(3a^2+5ab-5b^2)^3 + (4a^2-4ab+6b^2)^3 + (5a^2-5ab-3b^2)^3 = (6a^2-4ab+4b^2)^3 .</math>
On peut également paramétrer un cube comme somme de trois cubes par : <math>a^3(a^3+b^3)^3 = b^3(a^3+b^3)^3+a^3(a^3-2b^3)^3+b^3(2a^3-b^3)^3</math>ou par<ref name="Weisstein" /> <math>a^3(a^3+2b^3)^3 = a^3(a^3-b^3)^3+b^3(a^3-b^3)^3+b^3(2a^3+b^3)^3.</math>
Anecdotiquement, le nombre 2 100 0003 peut être exprimé comme somme de trois cubes de neuf façons différentes<ref name="Weisstein" />.
Modèle:Math
- Modèle:Math (Lander, Parkin, Selfridge, le plus petit exemple, 1967)<ref name="autogenerated446">Modèle:Article</ref>
- Modèle:Math (Lander, Parkin, Selfridge, le second plus petit, 1967)<ref name="autogenerated446" />
- Modèle:Math (Sastry, 1934, le troisième plus petit)
Modèle:Math ou Modèle:Math
Modèle:Math (M. Dodrill, 1999)<ref>Modèle:Mathworld</ref>
Modèle:Math (S. Chase, 2000)<ref>Modèle:Mathworld</ref>
Conjecture voisine
Modèle:Voir En 1967, Lander, Parkin et Selfridge ont conjecturé<ref>Modèle:Article</ref>,<ref name=EulerNet/> que si Modèle:Math et Modèle:Math, il n'existe pas d'entiers strictement positifs Modèle:Math tels que
Cela impliquerait en particulier que
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence <references/>
