Conjecture de Mertens

Fichier:Congettura Mertens.png

Le graphe montre la fonction de Mertens <math>M(n)</math> et les racines carrées <math>\pm \sqrt{n}</math> pour <math>n \leqslant 10\ 000</math>. Après avoir calculé ces valeurs, Mertens a supposé que la valeur absolue de <math>M(n)</math> était toujours bornée par <math>\sqrt{n}</math>. Cette hypothèse, connue sous le nom de conjecture de Mertens, a été réfutée en 1985 par Andrew Odlyzko et Herman te Riele.

En théorie des nombres, si nous définissons la fonction de Mertens ainsi :

<math>M(n) = \sum_{1\le k \le n} \mu(k)</math>

Modèle:Math étant la fonction de Möbius, alors la conjecture de Mertens énonce que

<math>|M(n)|<\sqrt n.</math>

Stieltjes prétendit en 1885 que Modèle:Math était compris entre deux bornes constantes, qui selon lui pouvaient être –1 et 1. Mertens à son tour publia un article en 1897 affirmant, calcul de M(10⁴) à l'appui, que l'inégalité |Modèle:Math| < Modèle:Racine lui semblait très probable pour tout n > 1.

Or toute inégalité de la forme |Modèle:Math| < cModèle:Racine, c étant un réel positif, implique l'hypothèse de Riemann.

Plus précisément, l'hypothèse de Riemann est équivalente à :

<math>\forall\varepsilon>0,\qquad M(x) = O(x^{1/2+\varepsilon}).</math>

On démontre un sens de cette équivalence ainsi :

<math>\frac1{\zeta(z)}=z\int_1^\infty\frac{M(x)}{x^{z+1}}~\mathrm dx</math>

où Modèle:Math est la fonction zêta de Riemann. La conjecture de Mertens indiquait que cette intégrale converge pour Re(z) > 1/2, ce qui impliquerait que Modèle:Frac est définie pour Re(z) > 1/2 et par symétrie pour Re(z) < 1/2. Ainsi, les seuls zéros non triviaux de Modèle:Math vérifieraient Re(z) = 1/2, ce qui est l'énoncé de l'hypothèse de Riemann.

Mais en 1985, Herman te Riele et Andrew Odlyzko ont démontré que la conjecture de Mertens est fausse<ref>Modèle:Article</ref>. Plus précisément, ils ont démontré que Modèle:Math a des valeurs supérieures à 1,06 et des valeurs inférieures à –1,009<ref>Modèle:MathWorld</ref>. János Pintz a montré peu après qu'il existe au moins un entier inférieur à exp(3,21.10⁶⁴) réfutant la conjecture<ref>Modèle:Article</ref>.

On ignore toujours si Modèle:Math est bornée, mais Te Riele et Odlyzko considèrent qu'il est probable que non.

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence <references />