Constante de Legendre
Modèle:Voir homonymes La constante de Legendre est une constante mathématique proposée par le mathématicien Adrien-Marie Legendre et qui n'a aujourd'hui plus qu'un intérêt historique.
Legendre conjecture en 1808 une forme précise de ce qu’on appellera plus tard le théorème des nombres premiers. Il écrit : Modèle:Citation En d’autres termes, Legendre affirme que
- <math> \pi(x) = \frac{x}{\log(x) - A(x)} </math>
où <math>\lim_{x \to \infty} A(x) = 1,08366,</math> et où Modèle:Math désigne la fonction de compte des nombres premiers inférieurs à Modèle:Math.
Le nombre <math>A:=\lim_{x\to\infty}A(x)</math>, qui existe, est appelé constante de Legendre. Mais sa valeur n’est pas celle supposée par Legendre.
En 1849, Tchebycheff<ref>Modèle:Ouvrage (Modèle:3e corrigée, 2 vol. en un).</ref> démontre que si la limite existe, elle doit être égale à 1. Une preuve plus simple est donnée par Pintz en 1980<ref>Modèle:Article.</ref>.
C'est une conséquence immédiate du théorème des nombres premiers (qui avait été démontré en 1896 indépendamment par Jacques Hadamard<ref>Modèle:Article.</ref> et par Charles-Jean de La Vallée Poussin<ref>Modèle:Article.</ref>), sous la forme plus précise démontrée en 1899 par La Vallée Poussin<ref>La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique, vol. 59, 1899, Modèle:P..</ref>
- <math> \pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x \mathrm{e}^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{lorsque } x \to \infty,</math>
que
et donc que A existe et vaut 1.
