Critère d'Eisenstein
En mathématiques, le « critère d'Eisenstein », publié auparavant par Theodor Schönemann<ref>Modèle:Article, Modèle:P..</ref>, donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible sur le corps des nombres rationnels.
Énoncé
Considérons un polynôme Modèle:Math à coefficients entiers, que l'on note
- <math>P(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_1X+a_0.</math>
Supposons qu'il existe un nombre premier Modèle:Math tel que :
- <math>\forall i\in \{0,1,\ldots,n-1\},</math> Modèle:Math divise <math>a_i</math> ;
- Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math ;
- Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math.
Alors Modèle:Math est irréductible dans l'anneau <math>\Q[X]</math> des polynômes à coefficients rationnels. Si de plus Modèle:Math est primitif (par exemple s'il est unitaire) alors, d'après le lemme de Gauss, Modèle:Math est irréductible dans l'anneau <math>\Z[X]</math> des polynômes à coefficients entiers.
Exemples
Considérons le polynômeModèle:Retrait
Nous examinons différents cas pour les valeurs de p suivantes :
- p = 2. 2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure ;
- p = 3. 3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure ;
- p = 5. 5 divise 15, le coefficient de Modèle:Math, et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 52 ne divise pas 10. Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que Modèle:Math est irréductible.
Dans certains cas, le choix du nombre premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable de la forme Modèle:Math, appelé translation. Par exemple, considérons le polynôme cyclotomique d'indice un entier premier Modèle:Math, c’est-à-dire le polynôme
- <math>\frac{X^p - 1}{X - 1} = X^{p - 1} + X^{p - 2} + \cdots + X + 1.</math>
Ce polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable Modèle:Math après une translation Modèle:Math. Le coefficient constant est alors égal à Modèle:Math, le coefficient dominant est égal à 1 et les autres coefficients sont divisibles par Modèle:Math d'après les propriétés des coefficients binomiaux.
Généralisations
Eisenstein avait formulé son critère<ref>Modèle:Article, Modèle:P..</ref> pour les cas où A est soit l'anneau des entiers relatifs, soit celui des entiers de Gauss. Ce sont deux anneaux principaux, mais le critère se généralise comme suit, sans modification de la démonstration<ref>Modèle:Lang1, lire en ligne.</ref> :
Soit A un anneau factoriel, K son corps des fractions et un polynôme à coefficients dans A, noté
- <math>P(X)=\sum_{i=0}^n a_i X^i</math>.
On suppose qu'il existe un élément premier Modèle:Mvar de A tel que
- <math>\forall i\in \{0,1,\ldots,n-1\},</math> Modèle:Mvar divise <math>a_i</math> ;
- Modèle:Mvar ne divise pas Modèle:Math ;
- Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math.
Alors Modèle:Math est irréductible dans K[X]. Si de plus Modèle:Math est primitif, alors il est aussi irréductible dans A[X].
Plus généralement<ref>Modèle:Ouvrage, exercice 10.</ref>, si
- <math>\forall i\in \{0,1,\ldots,k-1\},</math> Modèle:Mvar divise <math>a_i</math>,
- Modèle:Mvar ne divise pas Modèle:Math et
- Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math,
alors l'un des facteurs irréductibles de Modèle:Math dans A[X] est de degré <math>\ge k</math>.
