Flocon de Koch
Le flocon de Koch ({{#ifeq:1|0|[kɔkː]|[[Alphabet phonétique international|Modèle:Nobr]]}}) est l'une des premières courbes fractales à avoir été décrites, bien avant l'invention du terme « fractal(e) » par Benoît Mandelbrot.
Elle a été inventée en 1904 par le mathématicien suédois Helge von Koch<ref>Modèle:Article.</ref>.
Courbe de Koch
On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :
- On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
- On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
- On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.
Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.
La courbe de Koch est la réunion des sommets des lignes polygonales obtenues lorsqu'on répète indéfiniment les étapes mentionnées ci-avant.
Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est<ref>Une démonstration figure dans « Les fractales », Tangente HS, no 18, Modèle:P..</ref>,<ref>Modèle:MathWorld.</ref>,<ref>Modèle:Lien web.</ref>
- <math>d = \frac{\ln4}{\ln3}\approx 1{,}26</math>
La courbe de Koch a une longueur infinie. En effet en supposant que la courbe ait une longueur L, celle-ci serait supérieure à la longueur de chacune des lignes polygonales obtenues à chaque étape de la construction de la courbe. Or la longueur de ces lignes tend vers l'infini, parce qu'à chaque étape de construction de la courbe, la longueur de la ligne polygonale est multipliée par quatre tiers.
La surface délimitée par la courbe est cependant finie, car contenue dans le demi-disque dont le diamètre est le segment initial. Si l'on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération n, on ajoute <math>4^n\times\left(\frac19\right)^n</math>. L'aire totale s'obtient finalement en sommant une série géométrique convergente :
- <math>1+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac49\right)^n=1+{4/9\over1-4/9}=1+\frac45=\frac95</math>.
La courbe de Koch constitue un exemple de courbe continue mais non dérivable en chacun de ses points.
On peut considérer le flocon de Koch comme l'attracteur d'une famille de contractions, ce qui permet de prouver par exemple que c'est un compact de R²<ref>Modèle:Lien web.</ref>.
Flocon de Koch
Le flocon de Koch s'obtient de la même façon que la fractale précédente, en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. Pour un triangle initial (étape 0) de périmètre p, le périmètre du flocon à l'étape n est (4/3)np.
On peut aussi partir d'un hexagone, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur.
Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige régulier.
Comme la courbe, le flocon de Koch est de longueur infinie et délimite une aire finie. Celle-ci est égale aux 8/5 de l'aire du triangle initial dû à la construction de seulement 3 triangles lors de la première étape.
Il est possible de paver le plan uniquement en utilisant des copies du flocon de Koch dans deux tailles différentes<ref>Modèle:Article.</ref>, <ref>Modèle:Article.</ref>.
Variantes de la courbe de von Koch
Suivant le concept de von Koch, plusieurs variantes ont été conçues, en considérant des angles droits (Quadratique), d'autres angles (fractale de Cesàro) ou des extensions dans les dimensions supérieures (sphereflake, surface de Koch).
| Variante | Illustration | Construction |
|---|---|---|
| 1D & angle = 85° | La fractale Cesàro est une généralisation de la courbe de Koch avec un angle compris entre 60° et 90° (ici 85°). | |
| 1D & 90° | ||
| 1D & 90° | ||
| 2D & triangles | ||
| 2D & 90° | Fichier:Quadratic Koch 3D (type1 stage1).png Fichier:Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png Fichier:Quadratic Koch 3D (type1 stage3).png
Les trois premières étapes. | |
| 2D & 90° | Fichier:Quadratic Koch 3D (type2 stage1).png Fichier:Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png Fichier:Quadratic Koch 3D (type2 stage3).png
Les trois premières étapes. | |
| 2D & sphères | Eric Haines a développé la fractale Modèle:Lang (Modèle:Abréviation discrète flocon de sphère), extension du flocon de Koch, construite à base de sphères. |
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