Fonction êta de Dedekind
Modèle:Voir homonymes La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive.
Pour un tel nombre complexe <math>\tau</math>, on pose <math>q={\rm e}^{2{\rm i}\pi\tau}</math> et la fonction êta est alors : <math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})</math>, en posant <math>q^{1/24} = \exp\left(\frac{{\rm i}\pi\tau}{12}\right)</math>.
Propriétés
La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.
La fonction êta vérifie les deux équations fonctionnelles
- <math>\eta(\tau+1) = \exp\left(\frac{{\rm i}\pi}{12}\right)\eta(\tau)</math>
et
- <math>\eta\left(- \frac{1}{\tau}\right) =\frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{i}} \eta(\tau)</math>.
La seconde se généralise : soient <math>a,b,c,d</math> des entiers tels que <math>ad-bc=1</math> (donc associés à une transformation de Möbius appartenant au groupe modulaire), avec <math>c>0</math>. Alors<ref>Modèle:Harvsp, th. 3.4.</ref>
- <math>\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right)=\epsilon (a,b,c,d)\frac{\sqrt{c\tau+d}}{\sqrtModèle:\rm i}\eta(\tau)</math>
où
- <math>\epsilon (a,b,c,d)=\exp\left\{{\rm i}\pi\left(\frac{a+d}{12c}+s(-d,c)\right)\right\}</math>
et <math>s</math> est la fonction somme de Dedekind :
- <math>s(h,k)=\sum_{1\le n<k}\frac nk\left(\frac{hn}k-\left\lfloor\frac{hn}k\right\rfloor-\frac12\right)</math>.
À cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires.
En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass, forme modulaire de poids 12, peut être défini comme
- <math>\Delta(\tau) = (2 \pi)^{12} \eta(\tau)^{24}</math> (certains auteurs omettent le facteur <math>(2\pi)^{12}</math>, pour que la série soit à coefficients entiers).
- <math>\phi(q) = \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-q^n\right)= q^{-1/24} \eta(\tau)</math>
a un développement en série donné par l'identité d'Euler :
- <math>\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}</math>.
Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.
Notes et références
Modèle:Références Modèle:Traduction/Référence
