Fonction zêta de Lerch
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En mathématiques, la fonction zêta de Lerch, ou fonction zêta de Hurwitz-Lerch est une fonction spéciale qui généralise la fonction zêta de Hurwitz et le polylogarithme, nommée d'après le mathématicien Mathias Lerch. Elle est définie comme somme d'une série comme suit :
- <math>L(\lambda,\alpha,s)=\sum_{n=0}^\infty\frac{\mathrm e^{2\pi\mathrm i\lambda n}}{(n+\alpha)^s}</math>.
La fonction zêta de Lerch est reliée à la fonction transcendante de Lerch, définie par la formule :
- <math>\Phi(z,s,\alpha)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{(n+\alpha)^s}</math>
par l'identité :
- <math>\Phi(\mathrm e^{2\pi\mathrm i\lambda},s,\alpha)=L(\lambda,\alpha,s)</math>.
Cas particuliers
La fonction zêta de Hurwitz est un cas particulier, donnée par :
- <math>\zeta(s,\alpha)=L(0,\alpha,s)=\Phi(1,s,\alpha)</math>.
Le polylogarithme est un cas particulier de la fonction zêta de Lerch, donné par :
- <math>\operatorname{Li}_s(z)=z\Phi(z,s,1)</math>.
La fonction zêta de Riemann est le cas particulier suivant :
- <math>\zeta(s)=\zeta(s,1)=\operatorname{Li}_s(1)=\Phi(1,s,1)</math>.
La fonction êta de Dirichlet est aussi un cas particulier, donné par :
- <math>\eta(s)=\Phi(-1,s,1)=-\operatorname{Li}_s(-1)</math>.
Enfin, la fonction chi de Legendre admet l'expression :
- <math>\chi_n(z)=2^{-n}z\Phi(z^2,n,1/2)</math>.
