Homéomorphisme
En topologie, un homéomorphisme est une application bijective continue, d'un espace topologique dans un autre, dont la bijection réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces topologiques sont dits homéomorphes.
La notion d'homéomorphisme est la bonne notion pour dire que deux espaces topologiques sont « le même » vu différemment. C'est la raison pour laquelle les homéomorphismes sont les isomorphismes de la catégorie des espaces topologiques.
Théorème
Soit <math>X</math> et <math>Y</math> des espaces topologiques, <math>f</math> une application bijective de <math>X</math> sur <math>Y</math>. Les conditions suivantes sont équivalentes :
- <math>f</math> et <math>f^{-1}</math>sont continues ;
- pour qu'une partie de <math>X</math> soit ouverte, il faut et il suffit que son image dans <math>Y</math> soit ouverte<ref name=":0" />.
Propriétés
- Une bijection continue est un homéomorphisme si et seulement si elle est ouverte ou fermée (elle est alors les deux).
- Soient K un espace topologique compact, E un espace topologique séparé, et f : K → E une bijection continue. Alors f est un homéomorphisme. En particulier, E est un compact.Modèle:Retrait
- Une bijection continue n'est pas toujours un homéomorphisme (voir l'article Comparaison de topologies). Par exemple, l'application
<math>f : \left[0, 2\pi\right[ \to S^1,~t\mapsto (\cos t,\sin t)</math> est une bijection continue mais sa réciproque n'est pas continue en Modèle:Math. En fait, il n'existe aucun homéomorphisme entre le [[Cercle unité|cercle Modèle:Math]] et une partie de ℝ (par des arguments de connexité ou de simple connexité).
Définitions associées
Une application f : X → Y est un Modèle:Lien si tout point de X appartient à un ouvert V tel que f(V) soit ouvert dans Y et que f donne, par restriction, un homéomorphisme de V sur f(V). Une telle application est continue et ouverte.
- Exemples
-
- Tout revêtement est un homéomorphisme local.
- Pour tout ouvert X de Y, l'inclusion X → Y est un homéomorphisme local.
- Toute composée X → Z d'homéomorphismes locaux X → Y et Y → Z est un homéomorphisme local.
- Toute réunion disjointe ∐i∈IXi → Y d'homéomorphismes locaux Xi → Y est un homéomorphisme local.
- Modèle:Refsou (Cf. la « droite réelle avec un point double ».)
- Tout difféomorphisme local d'une variété dans une autre est un homéomorphisme local.
Une propriété topologique est une propriété qui est invariante par homéomorphismes.
Exemples
- Tout difféomorphisme est un homéomorphisme.
- Un cercle et un carré sont homéomorphes (par translation suivie d'une projection centrale).
- La sphère de Riemann privée de son pôle nord est homéomorphe au plan<ref name=":0" /> : un homéomorphisme est ici la projection stéréographique.
- Le tore de dimension 1 et le cercle unité<ref name=":0">Modèle:Ouvrage.</ref> (ou tout autre cercle de rayon non nul) sont homéomorphes.
Référence
Voir aussi
Articles connexes
- Théorème de la bijection
- Morphisme
- Isomorphisme
- Systèmes dynamiques
- Théorème de l'invariance du domaine
- Propriété locale
- Plongement
Lien externe
Homéomorphisme du plan sur un carré : animation sur GeoGebra accompagnée d'un exercice
