Morphisme
En mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations.
En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
Plus généralement, la notion de morphisme est l'un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas nécessairement une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas nécessairement des ensembles.
Définitions
Cas général (théorie des modèles)
Soient <math>\mathcal M</math> et <math>\mathcal N</math> deux <math>\mathcal L</math>-structures, d'ensembles respectifs <math>M</math> et <math>N</math>. Un morphisme de <math>\mathcal M</math> dans <math>\mathcal N</math> est une application <math>m</math> de <math>M</math> dans <math>N</math> telle que :
- pour tout symbole de fonction <math>n</math>-aire <math>f \in \mathcal L</math> et pour tout <math>(a_i)_i \in M^n</math> on a <math>m(f^{\mathcal M}(a_i)_i )=f^{\mathcal N}(m(a_i))_i </math> (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
- pour tout symbole de relation <math>n</math>-aire <math>R \in \mathcal L</math> et pour tout <math>(a_i)_i \in M^n</math>, si <math>(a_i)_i \in R^{\mathcal M}</math> alors <math>(m(a_i))_i \in R^{\mathcal N}</math>
<math>c^{\mathcal N}</math> désignant l'interprétation du symbole <math>c</math> dans la structure <math>\mathcal N</math>.
Cas des monoïdes
Modèle:Loupe Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application <math>f : (M, *, e) \longrightarrow (M', \star, e')\,</math>, entre deux monoïdes <math>(M, *, e)\,</math> et <math>(M', \star, e')</math>, qui vérifie<ref name=Popescu/> :
- <math>\forall (g,h) \in M^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h)</math> ;
- <math>f(e) = e'</math>.
Cas des groupes
Modèle:Article détaillé Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application <math>f : (G, *) \longrightarrow (G', \star)\,</math>, entre deux groupes <math>(G, *)\,</math> et <math>(G', \star)\,</math>, qui vérifie :
- <math>\forall (g,h) \in G^2,~ f(g * h) = f(g) \star f(h)</math>.
On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence <math>f(e)=e'</math> et <math>\forall x \in G, f(x^{-1})=(f(x))^{-1}</math>.
Cas des anneaux
Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application <math>f:A\to B</math> entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :
- <math>\forall a, b \in A,~ f(a +_A b) = f(a) +_B f(b)</math> ;
- <math>\forall a, b \in A,~ f(a *_A b) = f(a) *_B f(b)</math> ;
- <math>f\left(1_A\right)=1_{B}</math>.
dans lesquelles <math>+_A</math>, <math>*_A</math> et <math>1_A</math> (respectivement <math>+_B</math>, <math>*_B</math> et <math>1_B</math>) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux <math>A</math> et <math>B</math>.
Cas des espaces vectoriels
Modèle:Voir Dans la Modèle:Lien sur un corps K fixé, un morphisme est une application <math>f:E\to F</math>, entre deux K-espaces vectoriels <math>(E,+_{E},\cdot_{E})</math> et <math>(F,+_{F},\cdot_{F})</math>, qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :
- <math>f</math> est un morphisme de groupes de <math>(E,+_{E})</math> dans <math>(F,+_{F})</math> ;
- <math>\forall x\in E ,~ \forall \lambda\in K,~ f(\lambda \cdot_{E} x ) = \lambda \cdot_{F} f(x)</math>,
ce qui est équivalent à :
<math>\forall (x,y)\in E \times E ,~ \forall \lambda \in K,~ f(\lambda \cdot_{E} x +_{E} y) = \lambda \cdot_{F} f(x) +_{F} f(y)</math>.
Cas des algèbres
Dans le cas de deux <math>K</math>-algèbres unifères <math>(A, +, \times, .)</math> et <math>(B, \dot{+}, \dot{\times}, .)</math>, un morphisme vérifie :
- <math>f</math> est une application linéaire de <math>A</math> dans <math>B</math> ;
- <math>f</math> est un morphisme d’anneaux,
ce qui est équivalent à :
- <math>f(1_A)=1_B</math> ;
- <math>\forall (x,y)\in A^2,~\forall (\lambda,\mu) \in K^2,~ f(\lambda .x + \mu .y) = \lambda .f(x) \dot{+} \mu .f(y)</math> ;
- <math>\forall (x,y)\in A^2,~ f(x\times y) = f(x)\dot{\times} f(y)</math>.
Cas des ensembles ordonnés
Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que x ⊑ y, on a f(x) ≼ f(y)<ref name=Popescu>Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Pour plus de détails, voir par exemple Modèle:Ouvrage.</ref>,<ref>Modèle:Bourbaki-Ensembles, p. IV.11 et 12 (exemple 1).</ref>.
La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique<ref name=Popescu/>.
Cas des espaces topologiques
Modèle:Voir Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.
Cas des espaces mesurables
Modèle:Voir Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.
Classement
- Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
- un isomorphisme est un morphisme <math>f</math> entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme <math>f'</math> dans le sens inverse, tels que <math>f\circ f'</math> et <math>f'\circ f</math> sont les identités des structures ;
- un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
- un épimorphisme (ou morphisme épique ou epi<ref name=":0">Modèle:Ouvrage</ref>) est un morphisme <math>f : A\to B</math> tel que : pour tout couple <math>g,h</math> de morphismes de type <math>B\to E</math> (et donc aussi pour tout <math>E</math>), si <math>g\circ f=h\circ f</math>, alors <math>g = h</math> ;
- un monomorphisme (ou morphisme monique<ref name=":0" />) est un morphisme <math>f : A\to B</math> tel que : pour tout couple <math>g,h</math> de morphismes de type <math>E\to A</math> (et donc aussi pour tout <math>E</math>), si <math>f\circ g=f\circ h</math>, alors <math>g = h</math>.
Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.
