Inégalité de Bernoulli

Fichier:Bernoulli inequality.svg

Illustration de l'inégalité de Bernoulli pour <math>n=3</math>

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — portant le nom du mathématicien Jacques Bernoulli — énonce que :

<math>(1+x)^n>1+nx</math>

pour tout entier<ref>{{#invoke:Langue|indicationDeLangue}} Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com</ref> Modèle:Math et tout réel Modèle:Mvar non nul supérieur ou égal à Modèle:Math.

Démonstrations

Par récurrence

Soit un réel <math>x\in\left[-1,0\right[\cup\left]0,+\infty\right[</math>. Montrons l'inégalité pour tout entier Modèle:Math, par récurrence sur Modèle:Mvar .

• Initialisation : <math>(1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x</math> donc la propriété est vraie pour Modèle:Math.
• Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que <math>(1+x)^k>1+kx</math> et montrons que la propriété est vraie au rang suivant Modèle:Math, c'est-à-dire montrons que <math>(1+x)^{k+1}>1+(k+1)x</math>.
  En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par Modèle:Math (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : <math>(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)\ge(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2>1+(k+1)x</math>.
• Conclusion : la propriété est vraie au rang Modèle:Math et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier Modèle:Math.

Utilisant la formule du binôme et la formule des séries géométriques

D'après la formule du binôme, si Modèle:Math , <math>(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}2x^2+\cdots+x^n>1+nx</math>

et d'après la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique, si <math>-1\leqslant x<0</math> : Modèle:Nobr, d'où <math>(1+x)^n>1+nx</math>.

Utilisant la notion de convexité

La courbe d'une fonction strictement convexe se trouve strictement au-dessus de ses tangentes, sauf au point de contact.

Plus précisément, si <math>f</math> est strictement convexe dérivable sur un intervalle <math>I</math> et <math>x_0</math> un point de <math>I</math>, alors : <math>\forall x\in I\backslash \{x_0\}:f(x)>f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)</math>.

Appliquant ceci à <math>f(x)=(1+x)^n</math> qui est bien strictement convexe sur <math>]-1,+\infty[</math> pour <math>n>1</math> car <math>f'(x)=n(1+x)^{n-1}</math> est strictement croissante sur cet intervalle, en prenant <math>x_0=0</math> on obtient bien <math>(1+x)^n>1+nx</math>.

Généralisation

Pour tout réel Modèle:Math et tout réel Modèle:Mvar non nul et supérieur ou égal à Modèle:Math, on a encore :

<math>(1+x)^r>1+rx</math>.

La démonstration par convexité fonctionne de la même façon, mais on peut effectuer la démonstration élémentaire suivante :Modèle:Démonstration

Utilisations

Modèle:... L'inégalité de Bernoulli peut être utilisée comme lemme pour démontrer que pour tout réel Modèle:Math, la [[Suite géométrique#Convergence|limite de la suite géométrique Modèle:Math]] est Modèle:Math.