Intégrale de Fresnel

Modèle:Voir homonymes L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

Formule de Fresnel

Fichier:Fresnel Integrals (Unnormalised).svg

Les fonctions S(x) et C(x) non normalisées.

Ces égalités sont équivalentes à l'expression de l'intégrale de Fresnel complexe (par identification des parties réelle et imaginaire dans un sens et par combinaison linéaire dans l'autre) :

<math>

\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}\,\mathrm dt = \sqrt{\dfrac{\pi}2}\dfrac{1-\mathrm i}2.

</math>

Convergence de l'intégrale

Le calcul explicite Modèle:Infra montrera que l'intégrale de Fresnel converge, mais on peut s'en assurer plus simplement :

• par le changement de variable Modèle:Math, la convergence de <math>\int_1^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}~\mathrm dt</math> équivaut à celle de <math>\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-\mathrm is}}{s^{1/2}}~\mathrm ds</math> ;
• d'après la règle d'Abel, pour tout Modèle:Math, l'intégrale <math>\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-\mathrm is}}{s^{\lambda}}~\mathrm ds</math> converge<ref>Modèle:Ouvrage.</ref>.

Définition

Fichier:Fresnel Integrals (Normalised).svg

Les fonctions Modèle:Math et Modèle:Math normalisées.

Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales, définies par les intégrales et développement en série entière associés :

<math>S(x)=\int_0^x \sin(t^2)\,\mathrm dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)},</math>

<math>C(x)=\int_0^x \cos(t^2)\,\mathrm dt=\sum_{n=0}^{\infin}(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}.</math>

Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument Modèle:Math dans les intégrales définissant Modèle:Math et Modèle:Math. Les intégrales sont alors multipliées par <math>\sqrt{\frac2{\pi}}</math> et les intégrandes sont divisés par Modèle:Mvar.

La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en Modèle:Math des deux fonctions Modèle:Mvar et Modèle:Mvar non normalisées.

Calcul de l'intégrale de Fresnel

Parmi les diverses méthodes, en voici deux : la première utilise la technique de Feynman, la seconde repose sur les intégrales de contour<ref>On peut aussi passer en coordonnées polaires et appliquer le théorème de Fubini, cf. Modèle:Lien web.</ref>.

Par une intégrale à paramètre

On considère pour tout réel Modèle:Mvar la fonction de ℝ⁺ dans ℂ définie par

<math>u\mapsto {\mathrm e^{-(u^2+\mathrm i)t^2}\over u^2+\mathrm i}.</math>

Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ⁺ et majorée en module par <math>u\mapsto\tfrac1{u^2}</math>, qui est intégrable en Modèle:Math.

Il est donc possible de poser Modèle:Mvar, la fonction définie pour tout Modèle:Mvar par l'intégrale à paramètre suivante :

<math>f(t)=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm e^{-(u^2+\mathrm i)t^2}}{u^2+\mathrm i}~\mathrm du.</math>

On montre que Modèle:Mvar est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C¹ sur ℝ⁺* avec

<math>\forall t\in\R^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm e^{-\mathrm it^2}\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-u^2t^2}\mathrm du.</math>

Modèle:Démonstration\right|\le\frac1{\sqrt{1+u^4}}</math> et la fonction <math>u\mapsto\tfrac1{\sqrt{1+u^4}}</math> est intégrable sur ℝ⁺.

• • Conclusion : <math>f</math> est continue sur ℝ et nulle à l'infini.
• Classe C¹ sur ℝ⁺* et valeur de la dérivée.
  • Pour tout Modèle:Math, la fonction <math>\R^{+*}\rightarrow\Complex,\ t\mapsto {\mathrm e^{-(u^2+\mathrm i)t^2}\over u^2+\mathrm i}</math> est dérivable et sa dérivée, <math>\R^{+*}\rightarrow\Complex,\ t\mapsto-2t\exp {[-(u^2+\mathrm i)t^2]},</math> est continue.
  • Pour tout Modèle:Math ∈ ℝ⁺*, la fonction <math>\R^+\rightarrow\Complex,\ u\mapsto-2t\exp {[-(u^2+\mathrm i)t^2]}</math> est mesurable.
  • Condition de domination : confinons le paramètre <math>t</math> à l'intervalle <math>]a,b[</math> avec <math>0<a<b</math>. <math>\forall (t,u)\in]a,b[\times\R^+,~\left|-2t\exp {[-(u^2+\mathrm i)t^2]}\right|\le2b~\mathrm e^{-u^2a^2}</math> et la fonction <math>u\mapsto 2b~\mathrm e^{-u^2a^2}</math> est intégrable sur ℝ⁺.
  • Conclusion : <math>f</math> est de classe <math>C^1</math> sur ℝ⁺* et

<math>\forall t\in\R^{+*},~f'(t)=-2t\mathrm e^{-\mathrm it^2}\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-u^2t^2}\mathrm du.</math>

}}

En simplifiant l'expression de Modèle:Mvar et en l'intégrant de 0 à Modèle:Math, on en déduit que

<math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}~\mathrm dt=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{+\infty}\frac1{u^2+\mathrm i}~\mathrm du.</math>

Modèle:Démonstration2</math>. Ainsi, on a une expression plus simple de la dérivée de Modèle:Mvar :

<math>f'(t)=-\sqrt{\pi}\mathrm e^{-\mathrm it^2}</math>.

Par conséquent :

<math>0-\int_0^{+\infty}\frac1{u^2+\mathrm i}~\mathrm du=\left(\lim_{t\to+\infty}f(t)\right)-f(0)=\int_0^{+\infty}f'(t)~\mathrm dt=-\sqrt\pi\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}~\mathrm dt.</math>

}}

On se sert alors de l'expression <math display=inline>\frac1{u^2+\mathrm i}</math> sous la forme <math display=inline>\frac{u^2-\mathrm i}{u^4+1}</math> et d'une intégrale classique :

<math>\int_0^{+\infty}{u^2\over u^4+1}~\mathrm du=\int_0^{+\infty}{1\over u^4+1}~\mathrm du=\frac{\pi}{2\sqrt 2}</math>

pour en déduire que

<math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}~\mathrm dt=\sqrt{\frac{\pi}2}\dfrac{1-\mathrm i}2</math>.

Par intégration complexe

Il est aussi possible d'intégrer <math>f(z)=\exp(-z^2)</math> sur le bord du secteur circulaire <math>T_R</math> de sommets <math>0, ~R, ~\frac1{\sqrt2}(1+\mathrm i)~ R</math> puis de faire tendre <math>R</math> vers l'infini.

Fichier:Fresnel Integral Contour.svg

Contour utilisé pour le calcul.

<math>\oint f(z)\,\mathrm dz=\underbrace{\int_0^R\mathrm e^{-t^2}\,\mathrm dt}_{I_1(R)}+\underbrace{\int_0^{\pi/4}\mathrm iR\,\mathrm e^{\mathrm it}\,\mathrm e^{-R^2\exp(2\mathrm it)}\,\mathrm dt}_{I_2(R)}-\underbrace{\int_0^R\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi}4}\,\mathrm e^{-\mathrm it^2}\,\mathrm dt}_{I_3(R)} </math>

Intéressons nous d'abord à Modèle:Math.

<math>|I_2(R)|\le\int_0^{\pi/4}R\,\mathrm e^{-R^2\cos(2t)}\,\mathrm dt = \int_0^{\pi/2} \dfrac R2\,\mathrm e^{-R^2\cos u}\,\mathrm du</math>

après un changement de variable Modèle:Math. Or, sur <math> \left[0,\dfrac{\pi}2\right] </math>, la concavité de Modèle:Math donne

<math> \forall u\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right],\quad 1-\dfrac2{\pi}u\leq\cos u\le1 </math>

donc

<math> \forall u\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right],\quad\mathrm e^{-R^2\cos u}\le\,\mathrm e^{R^2\left(\frac2{\pi}u-1\right)}</math>

donc

<math>\int_0^{\pi/2}\dfrac R2\,\mathrm e^{-R^2\cos u}\,\mathrm du\leq \dfrac{\pi}{4R}\left(1-\mathrm e^{-R^2}\right)</math>

Le théorème des gendarmes donne ainsi <math>\lim_{R\rightarrow +\infty}I_2(R)=0 </math>. Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss, <math>\lim_{R\rightarrow +\infty}I_1(R)=\dfrac{\sqrt{\pi}}2</math>. De plus, <math>\lim_{R\rightarrow +\infty}I_3(R)=\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi}4}\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}\,\mathrm dt </math>.

La fonction Modèle:Mvar est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que <math> \oint f(z)\,\mathrm dz=0.</math>

Dès lors,

<math>\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi}4}\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}\,\mathrm dt = \dfrac{\sqrt{\pi}}2</math>

donc

<math>\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-\mathrm it^2}\,\mathrm dt =\mathrm e^{-\mathrm i\frac{\pi}4}\dfrac{\sqrt{\pi}}2=\sqrt{\dfrac{\pi}2}\dfrac{1-\mathrm i}2</math>.

Remarque

Un calcul identique montre que plus généralement, pour tout nombre complexe Modèle:Mvar dont la partie réelle appartient à Modèle:Math,

<math>\int_0^{+\infty}t^{\beta}\mathrm e^{-\mathrm it^2}\,\mathrm dt =\mathrm e^{-\mathrm i\frac{\pi}4(\beta+1)}\dfrac{\Gamma\left(\frac{\beta+1}2\right)}2,</math>

où Modèle:Math désigne la fonction gamma. En adaptant le choix du contour, on peut même démontrer cette égalité pour <math>\mathrm{Re}(\beta)\in\left]-1,1\right[</math>, ce qui, par changement de variable Modèle:Supra, équivaut au calcul du § « Exemple » de l'article sur le théorème intégral de Cauchy.

Articles connexes

• Clothoïde
• Théorie de la diffraction
• Diffraction de Fresnel