Intégrale elliptique

{{#ifeq:||Un article de Ziki, l'encyclopédie libre.|Une page de Ziki, l'encyclopédie libre.}}

{{#invoke:Bandeau|ébauche}} Les intégrales elliptiques interviennent dans de nombreux problèmes de physique mathématique : comme par exemple, le calcul de la période d'un pendule aux grandes amplitudes et plus généralement les formes d'équilibre ellipsoïdales des corps en rotation autour d'un axe (planètes, étoiles, goutte d'eau, noyau atomique,...)<ref name=":0">Modèle:Ouvrage</ref>.

Forme générale

Une intégrale elliptique est une intégrale de la forme

<math>f(x) = \int_{c}^{x} R\left(t,\sqrt{P(t)}\right)\;\mathrm{d}t </math>

où <math>R</math> est une fonction rationnelle à deux variables, <math>P</math> est une fonction polynomiale de degré 3 ou 4 avec des racines simples et <math>c</math> est une constante.

Adrien-Marie Legendre, qui en a offert la première étude systématique, a montré que des changements de variables adéquats permettent de ramener ces intégrales à trois formes canoniques<ref>E. T. Whittaker et Watson, A Course of Modern Analysis, New York, Mac Millan, 1943, Modèle:P..</ref> :

<math>\begin{align}

(1)&\quad\int \frac{1}{\sqrt{(At^2+B)(A't^2+B')}}~\mathrm{d}t\\ (2)&\quad\int \frac{t^2}{\sqrt{(At^2+B)(A't^2+B')}}~\mathrm{d}t\\ (3)&\quad\int \frac{1}{1+Nt^2} \frac{1}{\sqrt{(At^2+B)(A't^2+B')}}~\mathrm{d}t\end{align}</math>

appelées respectivement intégrale elliptique de première, de deuxième et de troisième espèce. Le calcul de la longueur d'un arc de lemniscate de Bernoulli fait appel à une intégrale elliptique de première espèce, celui d'un arc d'ellipse à une intégrale de deuxième espèce (ce qui justifie en partie le nom d'intégrale elliptique) ; l'aire d'un ellipsoïde est une combinaison d'intégrales elliptiques de première et de seconde espèce<ref name=":0" />.

Legendre appelait ces intégrales des fonctions elliptiques. Après les travaux de Niels Abel et de Carl Gustav Jakob Jacobi, en 1827, le nom de fonction elliptique est maintenant réservé aux fonctions inverses de ces intégrales.

Paramétrisation

Les intégrales elliptiques sont caractérisées par un paramètre, qu'on peut définir de façon équivalente comme :

L'utilisation d'une écriture ou d'une autre n'altère pas la nature de l'intégrale.

Intégrales elliptiques incomplètes

Des variantes dans les notations existent. On prendra garde en particulier à la présence ou non d'un point-virgule entre la variable et le module.

Première espèce

Les intégrales elliptiques de première espèce s'écrivent sous la forme :

<math> F(\varphi,k) = F(\varphi \,|\, k^2) = F(\sin \varphi ; k) = \int_0^\varphi \frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \theta}}.</math>

Cette forme est appelée forme trigonométrique ; en faisant les changements de variables Modèle:Math, on obtient la forme de Jacobi :

<math> F(x ; k) = \int_{0}^{x} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1 - t^2)\cdot (1 - k^2 t^2)}}.</math>

En utilisant l'angle modulaire :

<math> F(\varphi \setminus \alpha) = F(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2}}.</math>

Cette intégrale permet de définir les fonctions elliptiques de Jacobi. Ainsi, la fonction Modèle:Math est définie comme réciproque de Modèle:Math :

<math>F(x;k) = u \iff x = \mathrm{sn}(u,k)</math>

Deuxième espèce

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce s'écrivent sous la forme trigonométrique :

<math> E(\varphi,k) = E(\varphi \,|\,k^2) = E(\sin\varphi;k) = \int_0^\varphi \sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}\, \mathrm{d}\theta.</math>

Leur forme de Jacobi est :

<math> E(x;k) = \int_0^x \frac{\sqrt{1-k^2 t^2} }{\sqrt{1-t^2}}\, \mathrm dt.</math>

De même, avec l'angle modulaire :

<math> E(\varphi \setminus \alpha) = E(\varphi, \sin \alpha) = \int_0^\varphi \sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha)^2} \,\mathrm{d}\theta.</math>

On a une fois encore un lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi

<math>E(\mathrm{sn}(u ; k) ; k) = \int_0^u \mathrm{dn}^2 (w ; k) \, \mathrm{d}w = u - k^2 \int_0^u \mathrm{sn}^2 (w ; k) \, \mathrm{d}w = (1-k^2)u + k^2 \int_0^u \mathrm{cn}^2 (w ; k) \, \mathrm{d}w.</math>

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude Modèle:Math est donnée par Modèle:Math :

<math>m(\varphi) = a\left(E(\varphi,e)+\frac{\mathrm d^2}{\mathrm d\varphi^2}E(\varphi,e)\right),</math>

Modèle:Math est le grand axe de l'ellipse, et Modèle:Math son excentricité.

Troisième espèce

Les intégrales elliptiques de troisième espèce Modèle:Math s'écrivent sous la forme trigonométrique :

<math> \Pi(n ; \varphi \setminus \alpha) = \int_0^\varphi \frac{1}{1-n\sin^2 \theta}\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-(\sin\theta\sin \alpha)^2}}</math>

ou

<math> \Pi(n ; \varphi \,|\,m) = \int_{0}^{\sin \varphi} \frac{1}{1-nt^2}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-m t^2)(1-t^2) }}.</math>

Le nombre Modèle:Math est appelé la caractéristique et peut prendre n'importe quelle valeur, indépendamment des autres arguments. On remarquera cependant que <math>\Pi(1; \tfrac \pi 2 \,|\,m)</math> est infini, quel que soit Modèle:Math.

Le lien avec les fonctions elliptiques de Jacobi s'écrit dans ce cas

<math> \Pi(n; \,\mathrm{am}(u;k); \,k) = \int_0^u \frac{\mathrm{d}w} {1 - n \,\mathrm{sn}^2 (w;k)}.</math>

La longueur d'un arc méridien de l'équateur à une latitude Modèle:Math peut également s'exprimer grâce à Modèle:Math :

<math>m(\varphi)=a(1-e^2)\Pi(e^2 ; \varphi \,|\,e^2).</math>

Intégrales elliptiques complètes

Les versions « complètes » des intégrales elliptiques correspondent aux cas d'amplitude Modèle:Math soit Modèle:Math.

Première espèce

Les intégrales elliptiques de première espèce Modèle:Math sont définies par

<math>K(k) = F\left(\frac{\pi}{2},k\right) = F\left(\frac{\pi}{2} \,|\, k^2\right) = F\left(1;k\right) = \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^1 \frac{\mathrm dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2 t^2)}},</math>

On peut utiliser son développement en série entière :

<math>K(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 k^{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^\infty [P_{2 n}(0)]^2 k^{2n},</math>

où les Pn sont les polynômes de Legendre, ce qui donne pour les premiers termes

<math>K(k) = \frac{\pi}{2}\left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 k^{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 k^{4} + \cdots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 k^{2n} + \cdots \right\},</math>

avec Modèle:Math la factorielle double de Modèle:Math.

Pour le calcul, il peut être intéressant<ref>Modèle:Lien web.</ref> de faire le lien avec la moyenne arithmético-géométrique :

<math>K(k)=\frac{\pi/2}{\operatorname{agm}(1-k,1+k)}</math>.

Deuxième espèce

Les intégrales elliptiques de deuxième espèce Modèle:Math sont définies par

<math>E(k) = E\left(\frac\pi2,k\right) = E(1;k)= \int_0^{\pi/2}\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\ \mathrm d\theta = \int_0^1 \frac{\sqrt{1 - k^2 t^2}}{\sqrt{1 - t^2}} \mathrm dt</math>.

Pour une ellipse de demi grand axe Modèle:Math et de demi petit axe Modèle:Math, donc d'excentricité <math>e = \sqrt{1 - b^2/a^2}</math>, l'intégrale elliptique de deuxième espèce Modèle:Math donne un quart du périmètre de l'ellipse Modèle:Math mesurée respectivement à Modèle:Math. En clair :

<math>c = 4 a E(e)</math>.

On a également un développement en série entière :

<math>E(k) = \frac{\pi}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left[\frac{(2n)!}{2^{2 n} (n!)^2}\right]^2 \frac{k^{2n}}{1-2 n}= \frac{\pi}{2}\left\{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \frac{k^2}{1} - \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \frac{k^4}{3} - \cdots - \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \frac{k^{2n}}{2 n-1} - \cdots \right\}.</math>

Troisième espèce

Les intégrales elliptiques de troisième espèce Modèle:Math peuvent être définies par :

<math>\Pi(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\theta}{(1-n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}.</math>

Elles peuvent parfois être définies avec l'opposée de la caractéristique Modèle:Math,

<math>\Pi'(n,k) = \int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\theta}{(1+n\sin^2\theta)\sqrt {1-k^2 \sin^2\theta}}.</math>

Références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

Liens externes

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