Méthode des trapèzes
En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode pour le calcul numérique d'une intégrale<math> \int_{a}^{b} f(x)\,{\rm d}x</math> s'appuyant sur l'interpolation linéaire par intervalles.
Intervalle unique
Le principe est d'assimiler la région sous la courbe représentative d'une fonction Modèle:Mvar définie sur un segment Modèle:Math à un trapèze et d'en calculer l'aire Modèle:Mvar :
- <math>T=(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2}.</math>
Erreur
En analyse numérique l'erreur est par convention la différence entre la valeur exacte (limite) et son approximation par un nombre fini d'opérations. (Modèle:Citation<ref>, B. Démidovitch et I. Maron, Éléments de calcul numérique, Mir, 1973, p. 13)</ref>)..
L'erreur d'approximation par un polynôme de Taylor est le reste de la série de Taylor, et l'erreur de quadrature est l'aire totale sous la courbe moins la somme des aires des trapèzes <ref>(Modèle:Lien, Méthodes numériques, Mir, 1973, p. 281</ref>,<ref>G. Valiron, Théorie des fonctions, 1966, Méthodes des Trapèzes, p. 224</ref>,<ref>P. J. Davis Modèle:Lien, Modèle:Lang, A.P., 1984, p. 53)</ref>.
En métrologie, l'erreur est définie comme la différence entre valeur approchée et valeur réelle, soit l'opposé de l'erreur définie dans cet article, qui, en métrologie, porte le nom de correction<ref> (Aimé Defix, Éléments de métrologie générale et de métrologie légale, p. 72-74)</ref>.
Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment Modèle:Math, l'erreur est de la forme
- <math>\int_a^b f(x)\,{\rm d}x -(b-a)\frac{f(a) + f(b)}{2} = -\frac{(b-a)^3}{12}f(\xi)</math>
pour un certain <math>\xi \in [a,b]\,</math> (méthode du premier ordre).
Dans le cas d'une fonction convexe (dérivée seconde positive), l'aire du trapèze est donc une valeur approchée par excès de l'intégrale.
Intervalles multiples
Pour obtenir de meilleurs résultats, on découpe l'intervalle Modèle:Math en n intervalles plus petits et on applique la méthode sur chacun d'entre eux. Bien entendu, il suffit d'une seule évaluation de la fonction à chaque nœud :
- <math>\int_a^b f(x)\,dx = \frac{b-a}{n} \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_{k=1}^{n-1} f \left( a+k \frac{b-a}{n} \right) \right) + R_n(f)</math>
Le terme Modèle:Math est l'erreur de quadrature et vaut :
<math>-\frac{(b-a)^3}{12n^2}f(\xi)</math> pour un <math>\xi \in [a,b]\,</math>
La méthode des trapèzes revient à estimer l'intégrale d'une fonction comme l'intégrale de son interpolation linéaire par intervalles.
Exemple d'approximation d'une fonction par des trapèzes
Voici le découpage d'une fonction Modèle:Mvar que l'on veut intégrer sur l'intervalle Modèle:Math
- <math>f(x)=1,1 + \ln(e-\frac{x}{100}+\frac{3}{5}\operatorname{tanh}(\ln(x+10^{-7})+1))\cos \,x + \frac{2}{5}(x-\frac{\cos(3x)}{5})^2 + \frac{11}{100} \sqrt{2+2x} \sin (\frac{44}{25}(4+3\sqrt{x})x-\frac{19}{20}x^5)-e^{\frac{x}{3}} \,\!</math>
Découpage pour différentes valeurs de n (2,8 et 16).
Exemple avec n=2Exemple avec n=8Exemple avec n=16
Divers théorèmes
Théorème : Si f est 2 fois continûment différentiable sur Modèle:Math, la méthode des trapèzes est convergente sur <math>C^2([a,b])</math>.
Théorème : La méthode des trapèzes est stable pour les méthodes composites (à intervalles multiples).
Lien avec les autres méthodes d'intégration
La méthode des trapèzes est la première des formules de Newton-Cotes, avec deux nœuds par intervalle. Sa rapidité de mise en œuvre en fait une méthode très employée. Cependant, la méthode de Simpson permet une estimation plus précise d'un ordre pour un coût souvent raisonnable.
Comme tout estimateur basé sur un pas de calcul, la méthode des trapèzes est compatible avec la méthode d'accélération de convergence de Romberg.
