Matrice de Vandermonde
En algèbre linéaire, une matrice de Vandermonde est une matrice avec une progression géométrique dans chaque ligne. Elle tient son nom du mathématicien français Alexandre-Théophile Vandermonde.
De façon matricielle, elle se présente ainsi :
- <math>V=\begin{pmatrix}
1 & \alpha_1 & {\alpha_1}^2 & \dots & {\alpha_1}^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & {\alpha_2}^2 & \dots & {\alpha_2}^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & {\alpha_3}^2 & \dots & {\alpha_3}^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots \\ 1 & \alpha_m & {\alpha_m}^2 & \dots & {\alpha_m}^{n-1}\\ \end{pmatrix}</math>
Autrement dit, pour tous i et j, le coefficient en ligne i et colonne j est <math>V_{i,j} = {\alpha_i}^{j-1}.</math>
- Remarque.
- Certains auteurs utilisent la transposée de la matrice ci-dessus<ref name="MS">Modèle:Article</ref>.
Inversibilité
On considère une matrice V de Vandermonde carrée (<math>m=n</math>). Elle est inversible si et seulement si les <math>\alpha_i</math> sont deux à deux distincts.Modèle:Démonstration
Déterminant
Le déterminant d'une matrice <math>n \times n</math> de Vandermonde (<math>m=n</math> dans ce cas) peut s'exprimer ainsi<ref>Cette forme factorisée est utilisée par exemple dans l'épreuve de mathématiques de l'agrégation externe 2006, partie I.10.</ref>,<ref>Modèle:Ouvrage</ref>
- <math>\det(V) = \prod_{1\le i<j\le n} (\alpha_j-\alpha_i) </math>.
Applications
La matrice de Vandermonde et le calcul de son déterminant sont utilisés en interpolation polynomiale<ref>Modèle:Lien web</ref>.
Un cas particulier de matrice de Vandermonde apparaît dans la formule de la transformée de Fourier discrète, où les coefficients <math>\alpha_1, \dots, \alpha_m</math> sont des racines complexes de l'unité<ref>Modèle:Ouvrage</ref>.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
- Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques, tome 1 : algèbre, m.p. - spéciales m',m, Dunod, Paris, 1971 ; pages 316 à 319.
- Daniel Guinin, François Aubonnet et Bernard Joppin, Précis de mathématiques, Tome 2, Algèbre 2, Modèle:3e, Bréal, 1994 ; pages 19 et 20.
Articles connexes
Lien externe
- Didier Piau, Un tour du (Vander)monde en 70 minutes
